Limite 2 variabili

[chrapr85]

lim xylog(x^2+y^2)
(x,y)-->(0,0)


mi viene una forma indeterminata 0* - inf

come posso risolverlo???

[Sk_Anonymous]

Passa a coordinate polari e guarda cosa succede.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[chrapr85]

dovrei fare il lim 2*R^2sen(a)cos(a)log R ?????
(R,a)-->(0,0)

e poi? Dovrebbe venire 0, ma nn ci riesco.

[Sk_Anonymous]

No, attenzione che devi mandare solo R a 0, non anche a.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[chrapr85]

ok, ma non riesco comunque a togliere la forma indeterminata... mi esce sempre 0* - inf

[Sk_Anonymous]

Beh, ma ora e' un limite in una sola variabile. Dovresti essere in grado di farlo.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[Camillo]

Ora devi fare il limite , per R che tende a 0 di :
k*R^2*logR , essendo k= costante = sen(2a).
Riscrivilo in modo che si possa usare la regola di De L'Hospital :
logR/(1/R^2) , adesso sia numeratore che denominatore tendono all'infinito e quindi con un colpo di Hospital arrivi alla soluzione.

Camillo

[mica81]

questo esercizio serviva pure a me e mi ci sono messo sopra a ragionare.
ho buttato giù due soluzioni: nella prima, valuto il limite lungo la generica direzione y = mx in quanto se dopo la sostituzione ottengo una identità in cui compare solo la m allora sigifica che il limite dipende da quest'ultima e quindi non esiste. mi viene:
mx^2 * log(x^2 + m^2x^2)
il limite non dipende solo da m e quindi esiste. facendo tendere a zero la x, ottengo che il limite tende a zero.
nella seconda soluzione invece, ho eseguito le seguenti sostituzioni:
x = ro*cos(fi)
y = ro*sen(fi)
x^2 + y^2 = ro^2
e quindi ottengo:
ro^2 * cos(fi)sen(fi)*log(fi^2)
facendo tendere a zero ro, ottengo che il limite tende a zero.
ho ragionato bene secondo voi?

[Sk_Anonymous]

Entrambi i metodi che hai fatto pero' ti portnao a concludere che SE il limite esiste allora e' necessariamente 0. Non hai pero' dimostrato che il limite esiste. Per concludere che il limite e' effettivamente 0 devi dimostrare l'uniformita' del limite 0 calcolato in coorodinate polari, rispetto all'angolo.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it