Limite $1/x - 1/(e^x-1)
Ciao a tutti!
Mi sono imbattutto nel seguente limite:
$lim_(x rarr 0^+)1/x - 1/(e^x-1)$; per il calcolo ho utilizzato il limite notevole $lim_(x rarr 0) (e^x-1)/x=1$ :
$lim_(x rarr 0^+)1/x - 1/(e^x-1)=lim_(x rarr 0^+) 1/x - x/(x*(e^x-1))$; poichè $x/(x*(e^x-1))$ è asintotico con $1/x$,
$lim_(x rarr 0^+) 1/x - x/(x*(e^x-1))=lim_(x rarr 0^+) 1/x - 1/x=0=lim_(x rarr 0^+)1/x - 1/(e^x-1)$.
Calcolandolo con Derive però risulta $lim_(x rarr 0^+)1/x - 1/(e^x-1)=1/2$;
Sbaglio io o sbaglia derive?
Grazie a tutti per la risposta!
Mi sono imbattutto nel seguente limite:
$lim_(x rarr 0^+)1/x - 1/(e^x-1)$; per il calcolo ho utilizzato il limite notevole $lim_(x rarr 0) (e^x-1)/x=1$ :
$lim_(x rarr 0^+)1/x - 1/(e^x-1)=lim_(x rarr 0^+) 1/x - x/(x*(e^x-1))$; poichè $x/(x*(e^x-1))$ è asintotico con $1/x$,
$lim_(x rarr 0^+) 1/x - x/(x*(e^x-1))=lim_(x rarr 0^+) 1/x - 1/x=0=lim_(x rarr 0^+)1/x - 1/(e^x-1)$.
Calcolandolo con Derive però risulta $lim_(x rarr 0^+)1/x - 1/(e^x-1)=1/2$;
Sbaglio io o sbaglia derive?
Grazie a tutti per la risposta!
Risposte
"Eolo":
$lim_(x rarr 0^+) 1/x - x/(x*(e^x-1))=lim_(x rarr 0^+) 1/x - 1/x=0
Qua c'è l'errore. Lo vedi?
Ti propongo un altro esempio:
$lim_(x -> 0) (x - sin(x))/x^3$
$lim_(x -> 0) (x - sin(x))/x^3 = lim_(x -> 0) x/x^3 - sin(x)/x^3$
Ma $sin(x)$ è asintotico a $x$ per $x -> 0$, allora:
$= lim_(x -> 0) 1/x^2 - 1/x^2 = lim_(x -> 0) 0 = 0$
Mentre è abbastanza noto che $lim_(x -> 0) (x - sin(x))/x^3 = 1/6$ .
$lim_(x -> 0) (x - sin(x))/x^3$
$lim_(x -> 0) (x - sin(x))/x^3 = lim_(x -> 0) x/x^3 - sin(x)/x^3$
Ma $sin(x)$ è asintotico a $x$ per $x -> 0$, allora:
$= lim_(x -> 0) 1/x^2 - 1/x^2 = lim_(x -> 0) 0 = 0$
Mentre è abbastanza noto che $lim_(x -> 0) (x - sin(x))/x^3 = 1/6$ .
Veramente no! Nel senso che se c'è un errore è perchè ho detto che nel passaggio al limite posso sostituire $1/(e^x-1)$ con $1/x$ perchè sono asisintoci
Quello è l'errore; non lo puoi fare. Prova a spiegarti il perché.
E' più facile da capire, piuttosto che da spiegare.
E' più facile da capire, piuttosto che da spiegare.
Ok, non lo sposso fare perchè ho una differenza e non un rapporto, suppongo;
A parte questo, sono entrato nel pallone con questo limite, che tra l'altro mi ricordo di aver già fatto in passato in non più di due secondi.
Un suggerimento, a parte l'utilizzo del limite notevole che ho scritto sopra, che credo sia la direzione giusta?
A parte questo, sono entrato nel pallone con questo limite, che tra l'altro mi ricordo di aver già fatto in passato in non più di due secondi.
Un suggerimento, a parte l'utilizzo del limite notevole che ho scritto sopra, che credo sia la direzione giusta?
Un suggerimento è fare denominatore comune:
$lim_( x -> 0 ) 1/x - x/( x ( e^x - 1 ) ) = lim_( x -> 0 ) (( e^x - 1 ) - x)/( x ( e^x - 1 ) )$
Quello che puoi fare è constatare che $lim_( x -> 0 ) x^2/( x ( e^x - 1 ) ) = 1$, quindi puoi sostituire:
$lim_( x -> 0 ) ( e^x - 1 - x)/( x^2 )$
Per risolvere questo limite credo non sia sufficiente il limite notevole che richiamavi tu.
Però in questo caso è conveniente usare De L'Hospital.
$lim_( x -> 0 ) 1/x - x/( x ( e^x - 1 ) ) = lim_( x -> 0 ) (( e^x - 1 ) - x)/( x ( e^x - 1 ) )$
Quello che puoi fare è constatare che $lim_( x -> 0 ) x^2/( x ( e^x - 1 ) ) = 1$, quindi puoi sostituire:
$lim_( x -> 0 ) ( e^x - 1 - x)/( x^2 )$
Per risolvere questo limite credo non sia sufficiente il limite notevole che richiamavi tu.
Però in questo caso è conveniente usare De L'Hospital.
un altro metodo piuttosto immediato è considerare che $e^x = 1 + x + x^2/2 + o(x^2)$ (peraltro, poiché si rende necessaria un'approssimazione al secondo ordine di $e^x$, e considerando che il limite notevole $lim_(x->0) (e^x-1)/x=1$ corrisponde a un approssimazione al primo ordine, probabilmente è proprio non fattibile utilizzando solo quello)
Ok, l'ho fatto:
$lim_(x rarr 0) 1/x-1/(e^x-1)=lim_(x rarr 0) (e^x-1-x)/(x*(e^x-1))=lim_(x rarr 0)x(e^x-1-x)/(x^2*(e^x-1))=lim_(x rarr 0)(e^x-1-x)/x^2=lim_(x rarr 0) ((d(e^x-1-x))/(dx))/((dx^2)/(dx))=lim_(x rarr 0) (e^x-1)/(2x)=1/2$ grazie a quel limite notevole!
E grazie a te, Seneca!
Buona domenica!
$lim_(x rarr 0) 1/x-1/(e^x-1)=lim_(x rarr 0) (e^x-1-x)/(x*(e^x-1))=lim_(x rarr 0)x(e^x-1-x)/(x^2*(e^x-1))=lim_(x rarr 0)(e^x-1-x)/x^2=lim_(x rarr 0) ((d(e^x-1-x))/(dx))/((dx^2)/(dx))=lim_(x rarr 0) (e^x-1)/(2x)=1/2$ grazie a quel limite notevole!
E grazie a te, Seneca!
Buona domenica!
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