Limite
Ciao, sono un po' confuso sul hint che mi ha dato l'assistente per calcolare questo limite, con \( t \in \mathbb{R} \):
\[ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1+e^{it} + \ldots + e^{int}}{n}\]
Mi ha detto
\[ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\sum\limits_{k=0}^{n} (e^{it})^k}{n}\]
E considera il cambio di variabile \( z = e^{it} \), però da quel che so \( \begin{vmatrix} e^{it} \end{vmatrix} = 1 \) per ogni \(t \) e dunque questo cambio di variabile \( \sum\limits_{k=0}^{n} (e^{it})^k = \frac{1-z^{n+1}}{1-z} \) è mal definito...
\[ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1+e^{it} + \ldots + e^{int}}{n}\]
Mi ha detto
\[ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\sum\limits_{k=0}^{n} (e^{it})^k}{n}\]
E considera il cambio di variabile \( z = e^{it} \), però da quel che so \( \begin{vmatrix} e^{it} \end{vmatrix} = 1 \) per ogni \(t \) e dunque questo cambio di variabile \( \sum\limits_{k=0}^{n} (e^{it})^k = \frac{1-z^{n+1}}{1-z} \) è mal definito...
Risposte
La somma parziale di una serie geometrica è sempre definita.
Infatti. Quella è una somma di un numero finito di termini, non ti devi preoccupare della convergenza.
Quindi fondamentalmente il risultato sarebbe con \( t \neq 0 \)
\[ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1-(e^{it})^{n+1}}{n(1-e^{it})} = 0 \]
Mentre con \( t = 0 \)
\[ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} = 1 \]
\[ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1-(e^{it})^{n+1}}{n(1-e^{it})} = 0 \]
Mentre con \( t = 0 \)
\[ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} = 1 \]
E per $t = 2pi$?
Effettivamente è periodico l'esponenziale complesso, dunque il limite è \( 1 \) con \( t = 2k \pi \), e con \( k \in \mathbb{Z} \).
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