Limite

[kika_17]

Ciao a tutti, non capisco come devo risolvere questa tipologia di esercizi (ricopio il testo di un esercizio d'esame),
qualcuno può aiutarmi per favore?

Sia,$ AAn in NN$ , $f_n (x) = (n^3 * x^(1/2))/(1 + n^6 * x^2)$
Calcolare GIUSTIFICANDO IL PROCEDIMENTO seguito
a) $ lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} f_n (x) dx$

b) $ lim_{n \to \infty} \int_{1}^{\+oo} f_n (x) dx$

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se non ho capito male, devo usare il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale così da poter fare prima il

$ lim_{n \to \infty} f_n (x)$ e poi l'integrale della funzione ottenuta dal limite .. è così il procedimento?

che cosa cambia dal caso "a" al caso "b"? la funzione dopo il limite non è $1/(n^3 * x^(3/2)$ in entrambi i casi? che fa 0 per n che tende a infinito .. mmh

GRAZIE MILLE PER L'AIUTO

[Mephlip]

Per scambiare limite ed integrale devi avere convergenza uniforme in un determinato intervallo, per esempio potresti avere convergenza uniforme in $[0,1]$ ma non in $[1,+\infty)$; in generale questo rende lo studio del limite dell'integrale diverso a seconda dell'intervallo.
Perciò, in caso di convergenza uniforme, potresti scambiare il limite e l'integrale rendendo il calcolo molto più agevole, altrimenti dovresti calcolare (se questo è possibile) la primitiva e poi passare al limite.