Limite
$ lim_(x -> oo) x^6ln(1+e^(-3x))= lim_(x -> oo) x^6*e^(-3x)lim_(x -> 0) (1+e^(-3x))/e^(-3x)=lim_(x -> oo) x^6e^(-3x)1 $
il primo termine tende a infinito.
il secondo termine tende a zero perché $ e^-oo=0 $
$ ln(1)=0 $ ottengo
adesso se utilizzo il limite notevole del logaritmo:
$ lim_(x -> 0) ln(1+f(x))/f(x)=1 $
adesso come mi comporto?
Grazie
il primo termine tende a infinito.
il secondo termine tende a zero perché $ e^-oo=0 $
$ ln(1)=0 $ ottengo
adesso se utilizzo il limite notevole del logaritmo:
$ lim_(x -> 0) ln(1+f(x))/f(x)=1 $
adesso come mi comporto?
Grazie
Risposte
Ciao cri98 !
Innanzitutto ti chiederei cortesemente di scrivere il testo dell'esercizio ed i vari passaggi in forma matematica (probabilmente l'hai dimenticato, perché noto che più avanti hai usato la scrittura corretta) poiché leggere e capire messaggi in questa forma risulta complicato.
Ad ogni modo, io farei così. Supponendo che il limite che tu voglia studiare sia il seguente $lim_(x -> oo) x^6*ln(1+e^(-3x))$, io userei McLaurin ricordando che $ln(1+x) = x-(x^2)/2+(x^3)/3+...+o(x^n)$ nel nostro caso avremmo $ln(1+1/(e^(3x)))= 1/e^(3x)-1/(2*e^(6x))+...+o(e^(6x))$ che, moltiplicato per $x^6$ restituisce una somma algebrica di frazioni con numeratore infinito di ordine inferiore rispetto al denominatore ($(x^6)/e^(3x)+...$) che dà, come risultato, $0$.
In questo caso ho usato McLaurin, ma non è, ovviamente, l'unico modo di procedere. Inoltre, non conosco il tuo livello e se hai familiarità con gli sviluppi in serie di Taylor-McLaurin.
Ancora più banalmente si può moltiplicare e dividere il limite iniziale per $e^(-3x)$ ottenendo $lim_(x -> oo) e^(-3x)*x^6*ln(1+e^(-3x))/e^(-3x) = (x^6)/(e^(3x))*ln(1+e^(-3x))/e^(-3x)$ dove l'ultima porzione di limite è riconducibile al limite notevole $lim_(x -> 0) ln(1+x)/x=1$ e la prima porzione è un rapporto di infiniti con denominatore di ordine maggiore del numeratore e, pertanto, tendente a 0. Dunque si ha $0*1=0$.
Saluti
Innanzitutto ti chiederei cortesemente di scrivere il testo dell'esercizio ed i vari passaggi in forma matematica (probabilmente l'hai dimenticato, perché noto che più avanti hai usato la scrittura corretta) poiché leggere e capire messaggi in questa forma risulta complicato.
Ad ogni modo, io farei così. Supponendo che il limite che tu voglia studiare sia il seguente $lim_(x -> oo) x^6*ln(1+e^(-3x))$, io userei McLaurin ricordando che $ln(1+x) = x-(x^2)/2+(x^3)/3+...+o(x^n)$ nel nostro caso avremmo $ln(1+1/(e^(3x)))= 1/e^(3x)-1/(2*e^(6x))+...+o(e^(6x))$ che, moltiplicato per $x^6$ restituisce una somma algebrica di frazioni con numeratore infinito di ordine inferiore rispetto al denominatore ($(x^6)/e^(3x)+...$) che dà, come risultato, $0$.
In questo caso ho usato McLaurin, ma non è, ovviamente, l'unico modo di procedere. Inoltre, non conosco il tuo livello e se hai familiarità con gli sviluppi in serie di Taylor-McLaurin.
Ancora più banalmente si può moltiplicare e dividere il limite iniziale per $e^(-3x)$ ottenendo $lim_(x -> oo) e^(-3x)*x^6*ln(1+e^(-3x))/e^(-3x) = (x^6)/(e^(3x))*ln(1+e^(-3x))/e^(-3x)$ dove l'ultima porzione di limite è riconducibile al limite notevole $lim_(x -> 0) ln(1+x)/x=1$ e la prima porzione è un rapporto di infiniti con denominatore di ordine maggiore del numeratore e, pertanto, tendente a 0. Dunque si ha $0*1=0$.
Saluti
Attenzione al formalismo.... quando passi al limite su $x$ il risultato non può dipendere da $x$...
grazie ragazzi mi è tutto chiaro adesso. noto che con gli sviluppi di Taylor lo svolgimento risulta abbastanza veloce.
non ho ben capito a quale passaggio di riferisci
Grazie a tutti
"Luca.Lussardi":
Attenzione al formalismo.... quando passi al limite su $ x $ il risultato non può dipendere da $ x $...
non ho ben capito a quale passaggio di riferisci
Grazie a tutti
I passaggi scritti formalmente non hanno senso.. quei limiti non possono dipendere ancora da $x$.
"Luca.Lussardi":
I passaggi scritti formalmente non hanno senso.. quei limiti non possono dipendere ancora da $ x $.
Ciao Luca.Lussardi ! Ti riferisci ai miei passaggi o a quelli di cri98 ? In caso ti riferissi ai miei, potresti correggere l'errore ? Ti ringrazio
Saluti
Si' mi riferisco ai tuoi, per esempio
non ha alcun senso, invece va scritto
$ ln(1+x) = x-(x^2)/2+(x^3)/3+...+o(x^n)$.
"BayMax":
$lim_(x -> 0) ln(1+x) = x-(x^2)/2+(x^3)/3+...+o(x^n)$
non ha alcun senso, invece va scritto
$ ln(1+x) = x-(x^2)/2+(x^3)/3+...+o(x^n)$.
"Luca.Lussardi":
Si' mi riferisco ai tuoi, per esempio
[quote="BayMax"] $ lim_(x -> 0) ln(1+x) = x-(x^2)/2+(x^3)/3+...+o(x^n) $
non ha alcun senso, invece va scritto
$ ln(1+x) = x-(x^2)/2+(x^3)/3+...+o(x^n) $.[/quote]
Accidenti, @Luca.Lussardi hai perfettamente ragione ! Che sbadato 
. Provvedo a correggere e ti ringrazio di avermelo fatto notare. Se ci fossero altri errori ti sarei grato se me li segnalassi !Saluti
Si, dello stesso identico tipo anche righe dopo...
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