Limite

[cri981]

salve ragazzi!
devo risolvere questo limite
$ lim_(x -> oo) 3sqrt(n^6+n^2-1)-n^2 $

ottengo per sostituzione una forma indeterminata $ oo-oo $
come procedo? è corretto seguire questa strada( https://www.****.it/domande-a-rispos ... imiti.html)

devo utilizzare:
$ (a-b)(a^2+ab+b^2) $
chiamo$ a=3sqrt(n^6+n^2-1)$ $b=n^2$

$(a^2+ab+b^2)=$ $ root(3)((n^6+n^2-1)^2)+root(3)(n^6+n^2-1) *n^2+n^4 $

$ a^3-b^3=n^6+n^2-1-n^6$

$ lim_(n -> oo) (n^2-1)/(root(3)(n^6)+n^2*root(3)(n^6)+n^4 $

$ lim_(n -> oo) (n^2-1)/(n^2+2n^4) $

ottengo una forma indeterminata infinito/infinito ed ottengo $ lim_(n -> oo) 1/(2n^2)=0 $

Grazie

[pilloeffe]

Ciao cri98,

Credo che, come spesso accade, tu abbia scritto male ed in realtà il limite proposto sia il seguente:

$ \lim_{n \to +infty} root[3](n^6+n^2-1)-n^2 $

Non ho guardato i tuoi passaggi, ma se il limite proposto è quello che ho scritto il risultato in effetti è $ 0$.
Se vuoi risolverlo con l'identità $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \implies a - b = (a^3 - b^3)/(a^2 + ab + b^2) $, ti conviene metterlo sotto la forma seguente:

$ \lim_{n \to +infty} root[3](n^6+n^2-1)-n^2 = \lim_{n \to +infty} root[3](n^6+n^2-1)-root[3](n^6) $

e porre $a := root[3](n^6+n^2-1) $ e $ b := root[3](n^6) $

[cri981]

ciao pilloeffe
si il limite è quello che hai scritto.
questo è l'unico metodo che si può adoperare per risolvere questo tipo di limiti?

Grazie!

[pilloeffe]

"cri98":questo è l'unico metodo che si può adoperare per risolvere questo tipo di limiti?

A parte che caratterialmente non escludo mai che possano esserci diverse soluzioni per un problema posto, in questo caso sono sicuro che si possa fare anche in un altro modo:

$ \lim_{n \to +infty} root[3](n^6+n^2-1)-n^2 = \lim_{n \to +infty} n^2 \root[3]{1 + 1/n^4 - 1/n^6} - n^2 = \lim_{n \to +infty} n^2 \root[3]{1 + (n^2 - 1)/n^6} - n^2 = $
$ = \lim_{n \to +infty} \frac{\root[3]{1 + (n^2 - 1)/n^6} - 1}{1/n^2} = \lim_{n \to +infty} \frac{\root[3]{1 + (n^2 - 1)/n^6} - 1}{(n^2 - 1)/n^6} \cdot \frac{(n^2 - 1)/n^6}{1/n^2} = \lim_{n \to +infty} \frac{\root[3]{1 + (n^2 - 1)/n^6} - 1}{(n^2 - 1)/n^6} \cdot (n^2 - 1)/n^4 = $
$ = 1/3 \cdot 0 = 0 $