Limite
Salve per risolvere il seguente limite ho fatto in questo modo però non sono molto convinto della correttezza del risultato 
\( \lim_{n \to \infty} (\frac {\cos(\pi n)}{n})^{\frac{1}{n}} \)
\( (\frac {\cos(\pi n)}{n})^{\frac{1}{n}} = e^{\ln(\frac {\cos(\pi n)}{n})^{\frac{1}{n}}} = e^{\frac{\ln(\frac {\cos(\pi n)}{n})}{n}} \)
Per \( n \to + \infty \)
\( {\frac{\ln(\frac {\cos(\pi n)}{n})}{n}} \to 0 \) per la scala degli infiniti (è qui che sono incerto dello svolgimento perché tecnicamente avrei \( \frac{\ln 0}{n} = \frac{-\infty}{\infty} \) )
\( e^0 = 1 \)
\( \lim_{n \to \infty} (\frac {\cos(\pi n)}{n})^{\frac{1}{n}} \)
\( (\frac {\cos(\pi n)}{n})^{\frac{1}{n}} = e^{\ln(\frac {\cos(\pi n)}{n})^{\frac{1}{n}}} = e^{\frac{\ln(\frac {\cos(\pi n)}{n})}{n}} \)
Per \( n \to + \infty \)
\( {\frac{\ln(\frac {\cos(\pi n)}{n})}{n}} \to 0 \) per la scala degli infiniti (è qui che sono incerto dello svolgimento perché tecnicamente avrei \( \frac{\ln 0}{n} = \frac{-\infty}{\infty} \) )
\( e^0 = 1 \)
Risposte
Il risultato finale mi pare corretto. Non sono sicuro riguardo la legalità dell'ultimo passaggio, spero che passi di qui qualcuno più esperto di me. Personalmente, l'avrei risolto così:
considera che $-1<=cos(nx)<=1$, pertanto $lim_(n ->oo) (-1/n)^(1/n)<=lim_(n ->oo) (cos(npi)/n)^(1/n)<=lim_(n ->oo) (1/n)^(1/n) $
per $lim_(n ->oo) ((+-1)/n)^(1/n) $ ricorri appunto all'esponenziale, e quindi $lim_(n ->oo) e^(ln((+-1)/n)^(1/n))=lim_(n ->oo) e^((ln((+-1)/n))/n)$
Per quanto riguarda l'esponente $lim_(n ->oo) (ln((+-1)/n))/n$ usi de l'Hopital, che te lo trasforma in
$lim_(n ->oo) (+-1/n)/1=0$
Quindi procedendo a ritroso avrai che entrambi gli esponenti di $e$ sono uguali a zero, il che significa che i due limiti tra cui giace il tuo sono entrambi uguali a 1. Per il teorema del confronto, dunque, anche il tuo tenderà a 1.
Sperando di non aver fatto stupidaggini, perlomeno ti bumpo il post
considera che $-1<=cos(nx)<=1$, pertanto $lim_(n ->oo) (-1/n)^(1/n)<=lim_(n ->oo) (cos(npi)/n)^(1/n)<=lim_(n ->oo) (1/n)^(1/n) $
per $lim_(n ->oo) ((+-1)/n)^(1/n) $ ricorri appunto all'esponenziale, e quindi $lim_(n ->oo) e^(ln((+-1)/n)^(1/n))=lim_(n ->oo) e^((ln((+-1)/n))/n)$
Per quanto riguarda l'esponente $lim_(n ->oo) (ln((+-1)/n))/n$ usi de l'Hopital, che te lo trasforma in
$lim_(n ->oo) (+-1/n)/1=0$
Quindi procedendo a ritroso avrai che entrambi gli esponenti di $e$ sono uguali a zero, il che significa che i due limiti tra cui giace il tuo sono entrambi uguali a 1. Per il teorema del confronto, dunque, anche il tuo tenderà a 1.
Sperando di non aver fatto stupidaggini, perlomeno ti bumpo il post
Il fatto è che a rigore non puoi usare de l'Hopital per una successione, è un passaggio che andrebbe giustificato per bene.
Ad esempio si potrebbe procedere così:
$lim_(n->+oo) exp(log(1/n)/n)$
$lim_(n->+oo) exp(-log(n)/n) = 1$ per la gerarchia degli infiniti...
Ad esempio si potrebbe procedere così:
$lim_(n->+oo) exp(log(1/n)/n)$
$lim_(n->+oo) exp(-log(n)/n) = 1$ per la gerarchia degli infiniti...
Ok grazie mille a entrambi 
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