Limite
Salve, ho questo limite:
$\lim_{x \to 0}1/x-1/log(1+x+x^2)$
Come potrei operare? Non posso usare taylor.
Ho provato a fare minimo comune multiplo per poi usare de L'hopital ma ha solo complicato le cose.
L'unica equivalenza asintotica da usare che mi è venuta in mente è quella sul logaritmo $per$ $t\rarr0$ $log(1+t)~=t$ quindi dovrei dire:
$per$ $x+x^2\rarr0$ $log(1+x+x^2)~=x+x^2$
Ma non sono sicuro che si possa fare.
Quello che esce è:
$\lim_{x \to 0}(1+x-1)/(x(x+1))=1$ ma il risultato dovrebbe essere 1/2.
Consigli?
$\lim_{x \to 0}1/x-1/log(1+x+x^2)$
Come potrei operare? Non posso usare taylor.
Ho provato a fare minimo comune multiplo per poi usare de L'hopital ma ha solo complicato le cose.
L'unica equivalenza asintotica da usare che mi è venuta in mente è quella sul logaritmo $per$ $t\rarr0$ $log(1+t)~=t$ quindi dovrei dire:
$per$ $x+x^2\rarr0$ $log(1+x+x^2)~=x+x^2$
Ma non sono sicuro che si possa fare.
Quello che esce è:
$\lim_{x \to 0}(1+x-1)/(x(x+1))=1$ ma il risultato dovrebbe essere 1/2.
Consigli?
Risposte
Non scrivo i passaggi qui in latex perché è una cosa un po' lunga e difficile a quest'ora (per me) dopo una giornata lavorativa[nota]Si tratta comunque di calcolo polinomiale.[/nota], ma carta e penna l'ho risolto facendo un mcm per poi applicare due volte l'Hopital.
È un calcolo un po' macchinoso - più che altro al denominatore - ma si può fare.
È un calcolo un po' macchinoso - più che altro al denominatore - ma si può fare.
mcm e 2 volte hopital, ma è un limite che non ha senso, è fatto per far perdere tempo a fare calcoli inutili e non insegna niente
"anti-spells":
mcm e 2 volte hopital, ma è un limite che non ha senso, è fatto per far perdere tempo a fare calcoli inutili e non insegna niente
non sono d'accordo. anzitutto perchè sono convinto che non si possa applicare la regola di De l'Hôpital. il teorema afferma infatti che date $f,g:[a,b]->RR$ con a,b anche infiniti e se $g'(x) != 0$ per $x != x_0$ (ed altre cose) allora vale la regola. in particolare a me sembra che decada l'ipotesi di derivata non nulla. infatti nel nostro caso
1. $g:RR->RR, g(x)=xlog(1+x+x^2)$
2. $g'(x)=log(1+x+x^2)+x/(1+x+x^2)$ che si annulla anche in $x ~~ -1.6948...$ e quindi non è vero che non è nulla per $x!=0$
in particolare mi sembra che l'esercizio si risolva (anche qualora il mio ragionamento precedente si rivelasse sbaglliato) più facilmente con Taylor, ma va sviluppato il logaritmo al secondo ordine.
avevo già "risolto" questo limite qui
$ x_0 $Ciao a tutti
@cooper, perdonami ma io sono invece convinto che il teorema di De L’Hopital si possa applicare. Secondo quanto scritto qui https://www.matematicamente.it/appunti/derivate-appunti/teorema-de-lhopital/
si parla di intorno del punto $x_0$ in cui si va a calcolare il limite. Potrei pertanto considerare un'opportuna restrizione della funzione $g(x)$ in un intervallo in cui la sua derivata non si annulli se non in $x_0$ (lo $0$ in questo caso), e applicare il teorema. Sei d'accordo?
N.B.
La derivata di $g(x) = xlog(1+x+x^2)$ mi risulta essere $g'(x) = log(1+x+x^2)+ (x(1+2x))/(1+x+x^2)$ Sbaglio?
@cooper, perdonami ma io sono invece convinto che il teorema di De L’Hopital si possa applicare. Secondo quanto scritto qui https://www.matematicamente.it/appunti/derivate-appunti/teorema-de-lhopital/
si parla di intorno del punto $x_0$ in cui si va a calcolare il limite. Potrei pertanto considerare un'opportuna restrizione della funzione $g(x)$ in un intervallo in cui la sua derivata non si annulli se non in $x_0$ (lo $0$ in questo caso), e applicare il teorema. Sei d'accordo?
N.B.
La derivata di $g(x) = xlog(1+x+x^2)$ mi risulta essere $g'(x) = log(1+x+x^2)+ (x(1+2x))/(1+x+x^2)$ Sbaglio?
anzitutto che la derivata sia sbagliata, hai perfettamente ragione; non me ne ero nemmeno reso conto 
per l'altra questione: in effetti per come leggo lì hai ragione anche su questo. andando a rileggere anche il teorema per come lo conoscevo, potrebbe intendersi anche in quel caso come intorno del punto. non essendo esplicitamente detto ho sempre pensato fosse in tutto l'insieme di continuità della funzione però potrebbe più correttamente essere come dici tu.
grazie per i confronti
per l'altra questione: in effetti per come leggo lì hai ragione anche su questo. andando a rileggere anche il teorema per come lo conoscevo, potrebbe intendersi anche in quel caso come intorno del punto. non essendo esplicitamente detto ho sempre pensato fosse in tutto l'insieme di continuità della funzione però potrebbe più correttamente essere come dici tu.
grazie per i confronti
"anti-spells":
mcm e 2 volte hopital, ma è un limite che non ha senso, è fatto per far perdere tempo a fare calcoli inutili e non insegna niente
Gli esercizi sono pur sempre fatti per questo, almeno fino a quando non si assimilano i meccanismi.
Comunque ieri sera avevo controllato anche se avevo i postumi della giornata lavorativa, ma tutto bene ciò che finisce bene.
@cooper figurati, il forum serve per questo, a confrontarsi.
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