Limite
buongiorno a tutti sto provando inutilmente a svolgere questo limite. $ lim_(n -> oo) ln[(n+2)/(n+1)]/(sin[(sqrt(n)+1)] /(n^2)) $
per infinitesimi non mi viene avevo pensato un cambio di variabile ma non credo sia la strada giusta. come posso svolgerlo?? grazie in anticipo.
per infinitesimi non mi viene avevo pensato un cambio di variabile ma non credo sia la strada giusta. come posso svolgerlo?? grazie in anticipo.
Risposte
Usa che \(\frac{n+2}{n+1}=1+\frac{1}{n+1}\), poi sviluppa \(\log (1+\frac{1}{n+1})\) secondo Taylor.
posso applicare solo limiti di successione e notevoli.
E vabbé, allora applica il limite notevole di \(\log(1+x)\) o di \(\log (1+\frac1n)\), non so come lo hai chiamato. È lo stesso.
il limite notevole come lo posso applicare se n tende a infinito??
Ma dai, su. Devi ragionare, probabilmente anche tu sei in preda dall'ansia da esame. È vero che \(n\to \infty\) ma \(\frac{1}{n+1}\to 0\). È quello che ti serve.
si anche tanta di ansia 
. ok il numeratore tende a 0 ed ci sto il denominatore applico $ lim_(n -> oo) sin/x=0 $ e per infinitesimi anche esso è 0. al libro esce $+oo$
. ok il numeratore tende a 0 ed ci sto il denominatore applico $ lim_(n -> oo) sin/x=0 $ e per infinitesimi anche esso è 0. al libro esce $+oo$
E pure a te deve "uscire" \(+\infty\). Che cosa ti "esce" invece?
applicando il notevole del seno mi rimane al denominatore $ (sqrt((n))+1) /n^2 $ che per infinitesimi anche ciò è 0
Tu ti devi concentrare sul termine \(n^2\log(1+\frac1{n+1})\). A cosa tende, per \(n\to \infty\)? Usa il limite notevole. Dopo vediamo di capire cosa fa il seno a denominatore.
A proposito, sei sicura di aver riportato la traccia correttamente? Non manca un valore assoluto?
A proposito, sei sicura di aver riportato la traccia correttamente? Non manca un valore assoluto?
Ho ricontrollato il testo é giusto, il limite del dolaritmo te de a 1 per c che tente a 0, e prima abbiamo detto che il nostro numeratore tende a 0 giusto,?
Senti, lascia stare questo esercizio, preparane degli altri. C'è sicuramente un errore nella traccia perché quel limite non esiste. Adesso lo svolgo io per chiudere la discussione e lascio un commento in fondo.
Proposizione Il limite
\[
\lim_{n\to \infty} \frac{n^2 \log(1+\frac1{n+1})}{\sin(\sqrt n +1 )}
\]
non esiste.
Dimostrazione. Il termine
\[
n^2\log(1+\frac1{n+1})\]
tende a \(+\infty\) per via del limite notevole del logaritmo:
\[
n^2\log(1+\frac1{n+1}) = \underbrace{\frac{n^2}{n+1}}_{\to +\infty}\underbrace{(n+1)\log(1+\frac1{n+1})}_{\to 1}\to +\infty.\]
Ma il denominatore \(\sin(\sqrt n + 1)\) cambia segno infinite volte. Questo è difficile da dimostrare: si è parlato della successione \(\sin(n)\) varie volte su questo forum, ed è un caso simile.
Concludiamo che il limite non esiste. \(\Box\)
[ot]Questo è un commento per VALE0.
Proposizione Il limite
\[
\lim_{n\to \infty} \frac{n^2 \log(1+\frac1{n+1})}{\sin(\sqrt n +1 )}
\]
non esiste.
Dimostrazione. Il termine
\[
n^2\log(1+\frac1{n+1})\]
tende a \(+\infty\) per via del limite notevole del logaritmo:
\[
n^2\log(1+\frac1{n+1}) = \underbrace{\frac{n^2}{n+1}}_{\to +\infty}\underbrace{(n+1)\log(1+\frac1{n+1})}_{\to 1}\to +\infty.\]
Ma il denominatore \(\sin(\sqrt n + 1)\) cambia segno infinite volte. Questo è difficile da dimostrare: si è parlato della successione \(\sin(n)\) varie volte su questo forum, ed è un caso simile.
Concludiamo che il limite non esiste. \(\Box\)
[ot]Questo è un commento per VALE0.
Ho ricontrollato il testo é giusto, il limite del dolaritmo te de a 1 per c che tente a 0, e prima abbiamo detto che il nostro numeratore tende a 0 giusto,?Questo messaggio scritto così male tradisce che sei totalmente nel pallone. Non ti fare prendere dall'ansia, ti chiude le porte del cervello e ti impedisce di imparare qualsiasi cosa. Non fare centomila esercizi al giorno, è completamente inutile se ti fa agitare così. Fai uno o due esercizi soltanto, ma falli bene, capendo a fondo il meccanismo di risoluzione.[/ot]
grazie 
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