Limite
Ciao a tutti,
ho fatto questo limite di successione e vorrei sapere se è giusto lo svolgimento
$lim n->infty n^3((1+2/n^2)^(2n)-e^(4/n))$
$lim n->infty n^3 (((1+2/n^2)^(n^2))^(2/n)-e^(4/n))$ faccio poi il limite notevole e dovrebbe venire cosi $lim n->infty n^3 (e^(4/n)-e^(4/n))$ limite che tende a 0
E' giusto?? Io ho qualche dubbio...
ho fatto questo limite di successione e vorrei sapere se è giusto lo svolgimento
$lim n->infty n^3((1+2/n^2)^(2n)-e^(4/n))$
$lim n->infty n^3 (((1+2/n^2)^(n^2))^(2/n)-e^(4/n))$ faccio poi il limite notevole e dovrebbe venire cosi $lim n->infty n^3 (e^(4/n)-e^(4/n))$ limite che tende a 0E' giusto?? Io ho qualche dubbio...
Risposte
Ciao francesco1212,
Infatti è errato, anche tu sei passato al limite due volte, la prima per ottenere $e^2 $ che ti faceva comodo perché poi elevato alla $ 2/n $ risulta $e^{4/n} $, la seconda per ottenere il risultato $0$ che comunque non ci sarebbe perché casomai avresti una forma indeterminata $\infty \cdot 0 $. Quando si passa al limite si passa al limite, non lo si può fare "a rate" a seconda di ciò che ci fa comodo...
Prova invece a dimostrare che si ha:
$ \lim_{n \to +\infty} n^3[(1+2/n^2)^(2n)-e^(4/n)] = - 4 $
"francesco1212":
E' giusto?? Io ho qualche dubbio...
Infatti è errato, anche tu sei passato al limite due volte, la prima per ottenere $e^2 $ che ti faceva comodo perché poi elevato alla $ 2/n $ risulta $e^{4/n} $, la seconda per ottenere il risultato $0$ che comunque non ci sarebbe perché casomai avresti una forma indeterminata $\infty \cdot 0 $. Quando si passa al limite si passa al limite, non lo si può fare "a rate" a seconda di ciò che ci fa comodo...
Prova invece a dimostrare che si ha:
$ \lim_{n \to +\infty} n^3[(1+2/n^2)^(2n)-e^(4/n)] = - 4 $
puoi darmi qualche dritta?
Mah, a me se non sbaglio, mi pare che c' è un coinvolgimento di termini successivi, pertanto i limiti notevoli sono insufficienti , bisogna procedere con uno sviluppo più accurato, intanto porrei il limite nella forma $lim_(n->infty)(e^(2nlog (1+2/n^2))-e^(4/n))/(1/n^3) $, poi procederei con lo sviluppo in serie di:
$2nlog (1+2/n^2)=2n (2/n^2-2/n^4+o (1/n^4)) $ .
Inoltre sviluppando in serie $e^(4/n-4/n^3+O (1/n^3))=1+4/n+8/n^2+(20)/(3n^3)+O (1/n^3) $ ed ancora
$e^(4/n)=1+4/n+8/n^2+(32)/(3n^3)+O (1/n^5 ) $, e sostituendo si arriva facilmente alla soluzione.
$2nlog (1+2/n^2)=2n (2/n^2-2/n^4+o (1/n^4)) $ .
Inoltre sviluppando in serie $e^(4/n-4/n^3+O (1/n^3))=1+4/n+8/n^2+(20)/(3n^3)+O (1/n^3) $ ed ancora
$e^(4/n)=1+4/n+8/n^2+(32)/(3n^3)+O (1/n^5 ) $, e sostituendo si arriva facilmente alla soluzione.
"francicko":
Mah, a me se non sbaglio, mi pare che c' è un coinvolgimento di termini successivi, pertanto i limiti notevoli sono insufficienti , bisogna procedere con uno sviluppo più accurato, intanto potrei il limite nella forma $lim_(n->infty)(e^(2nlog (1+2/n^2))-e^(4/n))/(1/n^3) $, poi procederei con lo sviluppo in serie di:
$2nlog (1+2/n^2)=2n (2/n^2-2/n^4+2nlog (1+2/n^2)=2n (2/n^2-2/n^4+o (1/n^4)) $ $ 2nlog (1+2/n^2)=2n (n^2-2/n^4+O(1/n^4)) $.
Inoltre sviluppando in serie $e^(4/n-4/n^3+O (1/n^3))=1+4/n+8/n^2+(20)/(3n^3)+O (1/n^3) $ ed ancora
$e^(4/n)=1+4/n+8/n^2+(32)/(3n^3)+O (1/n^5 ) $, e sostituendo si arriva facilmente alla soluzione.
grazie
Scusa ma dallo Smart Phone mi viene difficile rispondere, ho modificato il messaggio , ora dovrebbe essere a posto , controlla.
non so cosa avessi sbagliato ma l'ho fatto come dicevi te con gli sviluppi di taylor ed è venuto
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