Limite
Ciao,
Come si potrebbe risolvere questo limite?
$lim_(xto-1^+)(|x|-1)e^(1/(x+1))$
Con de l'Hopital la forma indeterminata non si elimina.
Come si potrebbe risolvere questo limite?
$lim_(xto-1^+)(|x|-1)e^(1/(x+1))$
Con de l'Hopital la forma indeterminata non si elimina.
Risposte
Quale forma indeterminata trovi esattamente?
Ciao AnalisiZero,
Beh, semplicemente si ha:
$ lim_(x \to-1^+)(|x|-1)e^(1/(x+1)) = lim_(x \to-1^+)(-x-1)e^(1/(x+1)) = - lim_(x \to-1^+) frac{e^{1/(x+1)}}{1/(x + 1)} = - \infty $
dato che nella gara a chi va più rapidamente all'infinito l'esponenziale "vince" sul termine a denominatore.
Invece per $x \to - 1^- $ si ha:
$ lim_(x \to-1^-)(|x|-1)e^(1/(x+1)) = lim_(x \to-1^-)(-x-1)e^(1/(x+1)) = - lim_(x \to-1^-) frac{e^{1/(x+1)}}{1/(x + 1)} = 0 $
Beh, semplicemente si ha:
$ lim_(x \to-1^+)(|x|-1)e^(1/(x+1)) = lim_(x \to-1^+)(-x-1)e^(1/(x+1)) = - lim_(x \to-1^+) frac{e^{1/(x+1)}}{1/(x + 1)} = - \infty $
dato che nella gara a chi va più rapidamente all'infinito l'esponenziale "vince" sul termine a denominatore.
Invece per $x \to - 1^- $ si ha:
$ lim_(x \to-1^-)(|x|-1)e^(1/(x+1)) = lim_(x \to-1^-)(-x-1)e^(1/(x+1)) = - lim_(x \to-1^-) frac{e^{1/(x+1)}}{1/(x + 1)} = 0 $
Io farei cosi':
$ lim_(x -> -1^+) (|x|-1)e^(1/(x+1)) = lim_(x -> -1^+) (-x-1)e^(1/(x+1)) = lim_(x -> -1^+) -(x + 1)e^(1/(x+1)) $
chiamando poi $y= 1/(x+1)$ hai che $y-> +\infty$ se $x-> -1^+$
ed il limite diventa:
$lim_(y -> +\infty) -e^(y)/y$
ricordando il limite notevole:
$lim_(y -> +\infty) a^(y)/y^\alpha = +\infty$ $ AA a>1$ e $ \alpha>0$
Hai che il tuo limite vale $-\infty$
Sperando di non aver detto castronerie XD
$ lim_(x -> -1^+) (|x|-1)e^(1/(x+1)) = lim_(x -> -1^+) (-x-1)e^(1/(x+1)) = lim_(x -> -1^+) -(x + 1)e^(1/(x+1)) $
chiamando poi $y= 1/(x+1)$ hai che $y-> +\infty$ se $x-> -1^+$
ed il limite diventa:
$lim_(y -> +\infty) -e^(y)/y$
ricordando il limite notevole:
$lim_(y -> +\infty) a^(y)/y^\alpha = +\infty$ $ AA a>1$ e $ \alpha>0$
Hai che il tuo limite vale $-\infty$
Sperando di non aver detto castronerie XD
Alla fine ho posto $t=1/(x+1)$ e ho risolto facilmente. Il limite sinistro l'avevo già calcolato 
Vorrei capire meglio il fatto della "gara a infinito", si può fare anche se l'esponenziale è elevato a una funzione qualunque? Basta che sotto ci sia la stessa funzione?
Io sapevo solo una cosa del tipo $lim_(xto+infty)e^x/x^a=+infty$
Vorrei capire meglio il fatto della "gara a infinito", si può fare anche se l'esponenziale è elevato a una funzione qualunque? Basta che sotto ci sia la stessa funzione?
Io sapevo solo una cosa del tipo $lim_(xto+infty)e^x/x^a=+infty$
"AnalisiZero":
Alla fine ho posto $t=1/(x+1)$ e ho risolto facilmente. Il limite sinistro l'avevo già calcolato
Vorrei capire meglio il fatto della "gara a infinito", si può fare anche se l'esponenziale è elevato a una funzione qualunque? Basta che sotto ci sia la stessa funzione?
Io sapevo solo una cosa del tipo $lim_(xto+infty)e^x/x^a=+infty$
certo, purchè la tua funzione tenda a $\+infty$
anche adesso come esponente avevi $1/(x+1)$ che hai chiamato $t$ e quindi ti sei riportato al limite notevole
In generale vale:
$lim_(f(x)to+infty)a^f(x)/(f(x)^\alpha) =+infty$ $AA a>1$ e $ AA \alpha>0$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo