Limite

[Ragazzo1231]

ciao, ho provato a fare questo limite ma ero indeciso sul metodo con cui l'ho risolto...
$\lim_{n \to \infty}n^(alpha)*log((n^3+2n)/(3n^2+n^3))$

io l'ho svolto così...

$\lim_{n \to \infty}n^(alpha)*log((n^3*(((2n))/(n^3)+1))/(n^3*((3n^2)/n^3+1)))$
$\lim_{n \to \infty}n^(alpha)*log((n^3)/(n^3))$
$\lim_{n \to \infty}n^(alpha)*(log(n^3)-log(n^3))$
$\lim_{n \to \infty}n^(alpha)log(n^3)-n^(alpha)(log(n^3)=0$

se fosse così sarebbe strano... un aiuto?

[kobeilprofeta]

E certo. Ti perdi gli infinitesimi.
$log(frac {1+2/n^2}{1+3/n})=log (1+2/n^2)-log (1+3/n)=... $

[Ragazzo1231]

ma gli infinitesimi tendono a 0 nel calcolo del limite, quindi pensavo potessi escluderli...

[kobeilprofeta]

Eh no

Da dove ho lasciato io, sai continuare?

[Ragazzo1231]

no, sinceramente non so come continuare...
il passaggio dopo potrebbe essere questo?

$n^(alpha)*[log(1+(2)/(n^2))-log(1+(3)/n)]$

$n^(alpha)*[(2/n^2+o(2/n^2))-(3/n+o(3/n))]$

poi non so... dovrei cancellare $(3/n+o(3/n))$ perché troppo raffinato? se si, cosa devo fare dopo?

[kobeilprofeta]

Esatto fino alla seconda riga. Poi nella QUADRA ti rimane 3/n più un o (1/n)
Ora devi distinguere tre casi a seconda che alpha sia minore uguale o maggiore a 1

[Ragazzo1231]

Hai cancellato $2/n^2+o(2/n^2)$ perché troppo raffinato rispetto a $3/n+o(3/n)$?

[kobeilprofeta]

$2/n^2$ è un o-piccolo di (3/n)
Stessa cosa vale per $o (2/n^2) $

[Ragazzo1231]

Come mai?

[kobeilprofeta]

Studia la definizione di o piccolo

[francicko]

$o (3/n)$ sono $1/n^2$, $1/n^3$, $2/n^2$ $2/n^3$....ecc.ecc., cioè elementi infinitesimi che tendono a zero più velocemente di $3/n $ per $n->+infty $, e che vengono ad essere racchiusi appunto nel simbolo $o(3/n) $ od indifferentemente nei simboli , $o (4/n) $ , $o (2/n) $, ecc..ecc.
$o (2/n^2) $ sono ad esempio $1/n^3$, $2/n^4$, ecc. ecc.
Quindi $o(3/n) $ contiene $o (2/n^2) $, ma non ovviamente il viceversa.

[Ragazzo1231]

ahhh okk grazie mille