Limite

[Esy59]

$\lim_{x \to \+infty} (x/(x-1))*(sqrt (x^2-1))-x$ con de l'hopital a me esce $-1$ invece nelle soluzioni porta che il limite deve dare 1..

[pilloeffe]

Ciao Esy59,

Infatti risulta $1$ e non c'è neanche bisogno di scomodare de l'Hopital...
Come fa a venirti $- 1$ ? Prova a postare i passaggi...

[Esy59]

$(1/1)*(1/(2*(sqrt (x^2-1))))-1$
Che risulterebbe $(1*0)-1=-1$

[pilloeffe]

No, non ci sei... Si ha:

$lim_{x \to \+infty} (x/(x-1))*(sqrt (x^2-1))-x = lim_{x \to \+infty} frac{x sqrt (x^2-1) - x^2 + x}{x - 1} = lim_{x \to \+infty} frac{x^2 sqrt (1 - 1/x^2) - x^2 + x}{x - 1} $
$ = lim_{x \to \+infty} frac{x^2 (sqrt (1 - 1/x^2) - 1)}{x - 1} + frac{x}{x - 1} = lim_{x \to \+infty} - frac{sqrt (1 - 1/x^2) - 1}{-1/x^2} \cdot frac{1}{x - 1} + frac{x}{x - 1} = $
$ = - lim_{x \to \+infty} frac{sqrt (1 - 1/x^2) - 1}{-1/x^2} \cdot lim_{x \to \+infty} frac{1}{x - 1} + lim_{x \to \+infty} frac{x}{x - 1} = - frac{1}{2} \cdot 0 + 1 = 1 $

[Esy59]

Ah ok... mi potresti dire cosa ho sbagliato con de l'hopital? In modo da non ripetere l'errore.. grazie

[pilloeffe]

La regola di de l'Hôpital la puoi applicare solo se hai delle forme indeterminate del tipo $frac{\to 0}{\to 0}$ o $frac{\to infty}{\to infty}$ ...

[cooper1]

Metto la mia soluzione, sperando possa essere considerata creativa anche se uso uno sviluppo notevole ometto per semplicità di notazione il limite, ricordando che $x→ +oo$
$x[sqrt(((x+1)(x-1))/(x-1)^2)-1]=x[sqrt((x+1)/(x-1))-1]=x[sqrt(1+2/(x-1))-1] ~~ x/(x-1) → 1$

[pilloeffe]

Beh, quanto a creatività puoi fare di meglio, però devo ammettere che la soluzione che hai proposto ha il pregio della brevità...

[cooper1]

"pilloeffe":Beh, quanto a creatività puoi fare di meglio

ok, mi rifarò!