Limite
Ciao a tutti, ho un problema con il seguente limite:
$ lim_(x -> oo) sqrt(x^2+4x) -x*cos(1/sqrt(x) ) $
Inizialmente pensavo di razionalizzare ma si complica ancora di più.
Ho pensato di utilizzare anche Taylor, calcolando
$ x*cos(1/sqrt(x)) =x[1-x/(2x^2)+x^2/(2*x^4)]= x -1/2+1/(2x) $
Che unito alla radice a cui ho raccolto $ x^2 $ risulta:
$ (sqrt(x^2*(1+(4x)/x^2))-(x -1/2+1/(2x))) = x-x +1/2= 1/2 $
Che tuttavia non è il risultato!! Cosa ho sbagliato?
Come posso fare per calcolarlo?
Grazie!!
$ lim_(x -> oo) sqrt(x^2+4x) -x*cos(1/sqrt(x) ) $
Inizialmente pensavo di razionalizzare ma si complica ancora di più.
Ho pensato di utilizzare anche Taylor, calcolando
$ x*cos(1/sqrt(x)) =x[1-x/(2x^2)+x^2/(2*x^4)]= x -1/2+1/(2x) $
Che unito alla radice a cui ho raccolto $ x^2 $ risulta:
$ (sqrt(x^2*(1+(4x)/x^2))-(x -1/2+1/(2x))) = x-x +1/2= 1/2 $
Che tuttavia non è il risultato!! Cosa ho sbagliato?
Come posso fare per calcolarlo?
Grazie!!
Risposte
non ho ben capito cosa tu abbia fatto con la radice ma verosimilmente non hai sviluppato. mi sembra tu abbia anche pasticciato un po' con lo sviluppo del coseno. io farei così:
$sqrt(x^2(1+4/x))=x(1+2/x-1/(2x^2))=x+2$
$xcos(1/sqrtx)=x(1-1/(2x)+1/(24x^2))=x-1/2$
mettendo tutto insieme mi viene $x+2-(x-1/2)=x+2-x+1/2=5/2$
il tutto senza la minima formalità
$sqrt(x^2(1+4/x))=x(1+2/x-1/(2x^2))=x+2$
$xcos(1/sqrtx)=x(1-1/(2x)+1/(24x^2))=x-1/2$
mettendo tutto insieme mi viene $x+2-(x-1/2)=x+2-x+1/2=5/2$
il tutto senza la minima formalità
$x*cos(1/sqrt(x))=x*(1-1/2*1/x+1/24*1/x^2+o(1/x^2))=x-1/2+1/24*1/x+o(1/x)$
Ah giusto, sbagliavo a calcolare il coseno!! Grazie mille per l'aiuto!! 
secondo me non è quello. è pur vero che l'hai sbagliato ma alla fin fine che tu abbia $1/2$ oppure $1/24$ davanti ad $1/x$ cambia poco perchè per $x->oo$ se ne va a 0 comunque. quello che a mio avviso sbagli (prova a spiegare perchè) è considerare:
$sqrt(x^2(1+4/x))->x$
$sqrt(x^2(1+4/x))->x$
Ciao Dot.who,
Il limite proposto è risolvibile facendo uso dei soli limiti notevoli:
$ lim_{x \to +\infty} sqrt(x^2+4x) - x \cdot cos(1/sqrt{x}) = lim_{x \to +\infty} sqrt(x^2+4x) - x + x - x \cdot cos(1/sqrt{x}) = $
$ = 4 \cdot lim_{x \to +\infty} frac{sqrt(1 + 4/x) - 1}{4/x} + frac{1 - cos(1/sqrt{x})}{1/x} = 4 \cdot lim_{x \to +\infty} frac{sqrt(1 + 4/x) - 1}{4/x} + lim_{x \to +\infty} frac{1 - cos(1/sqrt{x})}{1/x} = $
$ = 4 \cdot 1/2 + 1/2 = 5/2 $
Il limite proposto è risolvibile facendo uso dei soli limiti notevoli:
$ lim_{x \to +\infty} sqrt(x^2+4x) - x \cdot cos(1/sqrt{x}) = lim_{x \to +\infty} sqrt(x^2+4x) - x + x - x \cdot cos(1/sqrt{x}) = $
$ = 4 \cdot lim_{x \to +\infty} frac{sqrt(1 + 4/x) - 1}{4/x} + frac{1 - cos(1/sqrt{x})}{1/x} = 4 \cdot lim_{x \to +\infty} frac{sqrt(1 + 4/x) - 1}{4/x} + lim_{x \to +\infty} frac{1 - cos(1/sqrt{x})}{1/x} = $
$ = 4 \cdot 1/2 + 1/2 = 5/2 $
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