Limite

[Laura.appunti.2021]

Salve, ho un problema con il seguente limite
$ lim_(x -> oo) (sqrt(9^n+1)+3^n) * ln (1+3^-n /4) $
Io ho pensato di risolverlo razionalizzando e cosi facendo risulta:
$ lim_(x -> oo) ((1) * ln (1+3^-n /4))/ (sqrt(9^n+1)-3^n) $
Tuttavia ora non riesco a ricondurmi a nessin limite notevole perché il denominatare mi risulta 0. Come posso risolvere?
Grazie

[pilloeffe]

Ciao Dot.who,

Secondo me sei fuori strada. Prova a fare in modo che quel $3^n $ vada a finire sotto il logaritmo in modo da poter usare il limite notevole del logaritmo... Il risultato del limite è $1/2 $.

[massimoaa]

Puoi anche porre $3^{-n}=4t$ ( e quindi $lim_{n->+oo}t=0$). In questo modo il tuo limite diventa:
$lim_{t->0}\ln(1+t)/{t}*lim_{t->0}[\sqrt{1/{16}+t^2}+1/4]$ =$1*(1/4+1/4)=1/2$

[pilloeffe]

Ciao massimoaa,

"massimoaa":( e quindi $ lim_{n \to +\infty} t = 0 $)

Questa mi piace poco... : avrei scritto che per $n \to +\infty $ si ha $t \to 0 $. Poi per il resto la soluzione proposta è corretta. Personalmente l'avevo risolto così:

$lim_{n \to +\infty} (sqrt(9^n+1)+3^n) ln(1+3^{- n}/4) = lim_{n \to +\infty} (sqrt(3^{2n}+1)+3^n) ln(1+ frac{1}{4 \cdot 3^n}) = $
$ = lim_{n \to +\infty} (sqrt(1 + 1/3^{2n}) + 1)3^n ln(1+ frac{1}{4 \cdot 3^n}) = frac{1}{4} \cdot lim_{n \to +\infty} (sqrt(1 + 1/3^{2n}) + 1) frac{ln(1+ frac{1}{4 \cdot 3^n})}{frac{1}{4 \cdot 3^n}} = $
$ = frac{1}{4} \cdot lim_{n \to +\infty} (sqrt(1 + 1/3^{2n}) + 1) \cdot lim_{n \to +\infty} frac{ln(1+ frac{1}{4 \cdot 3^n})}{frac{1}{4 \cdot 3^n}} = frac{1}{4} \cdot (sqrt{1} + 1) \cdot 1 = 1/2 $

[Laura.appunti.2021]

Grazie mille a tutti!!