Limite
Ragazzi buonasera, c'è questo limite che non riesco a risolvere, penso sia banale ma non ci riesco, oggi non è il mio giorno di forma migliore, spero che voi riusciate ad attenuare questa sensazione di insofferenza.
Allora arriviamo al dunque il limite incriminato è il seguente
$Limx->0 (sqrt(1+x)-root(4)(1-x))/(x+x^2)$
Ho tentato con moltiplicando e dividendo per $sqrt(1+x)+root(4)(1-x)$ ma la situazione non migliora affatto. Da quanto ho potuto vedere su wolfram alpha il risultato per x che tende a 0 dovrebbe essere $3/4$, il de hopital non è stato ancora introdotto dal prof quindi penso si riesca a risolvere anche senza il teorema.
Grazie dell'attenzione, spero mi diate le migliori delucidazioni a riguardo.
Allora arriviamo al dunque il limite incriminato è il seguente
$Limx->0 (sqrt(1+x)-root(4)(1-x))/(x+x^2)$
Ho tentato con moltiplicando e dividendo per $sqrt(1+x)+root(4)(1-x)$ ma la situazione non migliora affatto. Da quanto ho potuto vedere su wolfram alpha il risultato per x che tende a 0 dovrebbe essere $3/4$, il de hopital non è stato ancora introdotto dal prof quindi penso si riesca a risolvere anche senza il teorema.
Grazie dell'attenzione, spero mi diate le migliori delucidazioni a riguardo.
Risposte
Sicura che la situazione non migliori affatto con il procedimento che hai seguito? Prova a postare i calcoli.
Comunque se hai studiato gli sviluppi di Taylor, il limite si risolve rapidamente: al denominatore trascuri l'infinitesimo di ordine maggiore $x^2$; l'$x$ superstite ci suggerisce di sviluppare il numeratore fino al primo ordine.
Si ha $sqrt(1+x)=1+1/2x+o(x)$ e $root(4)(1-x)=1-1/4x+o(x)$, dunque $N(x)=3/4x$. Il rapporto è banalmente $(N(x))/(D(x))=3/4$
Comunque se hai studiato gli sviluppi di Taylor, il limite si risolve rapidamente: al denominatore trascuri l'infinitesimo di ordine maggiore $x^2$; l'$x$ superstite ci suggerisce di sviluppare il numeratore fino al primo ordine.
Si ha $sqrt(1+x)=1+1/2x+o(x)$ e $root(4)(1-x)=1-1/4x+o(x)$, dunque $N(x)=3/4x$. Il rapporto è banalmente $(N(x))/(D(x))=3/4$
Grande taylor e grande anche weierstress che sarebbe lei!! 
"Weierstress":
Sicura che la situazione non migliori affatto con il procedimento che hai seguito?
Infatti ha ragione Weierstress, bastava insistere un po'...
$ lim_{x \to 0} (sqrt(1+x)-root(4)(1-x))/(x+x^2) = lim_{x \to 0} frac{(sqrt(1+x)-root(4)(1-x))(sqrt(1+x)+root(4)(1-x))}{x(1+x) (sqrt(1+x)+root(4)(1-x))} = $
$= lim_{x \to 0} frac{(1+x)-sqrt(1-x)}{x(1+x)(sqrt(1+x)+root(4)(1-x))} = lim_{x \to 0} frac{((1+x)-sqrt(1-x))((1+x)+sqrt(1-x))}{x(1+x)(sqrt(1+x)+root(4)(1-x))((1+x)+sqrt(1-x))} =$
$ = lim_{x \to 0} frac{(1+x)^2- (1 - x)}{x(1+x)(sqrt(1+x)+root(4)(1-x))(1+x+sqrt(1-x))} = $
$ = lim_{x \to 0} frac{1+ 2x + x^2 - 1 + x}{x(1+x)(sqrt(1+x)+root(4)(1-x))(1+x+sqrt(1-x))} = $
$ = lim_{x \to 0} frac{3x + x^2}{x(1+x)(sqrt(1+x)+root(4)(1-x))(1+x+sqrt(1-x))} = $
$ = lim_{x \to 0} frac{x(3 + x)}{x(1+x)(sqrt(1+x)+root(4)(1-x))(1+x+sqrt(1-x))} = $
$ = lim_{x \to 0} frac{3 + x}{(1+x)(sqrt(1+x)+root(4)(1-x))(1+x+sqrt(1-x))} = $
$ = frac{3}{(1)(1+1)(1+1)} = frac{3}{4}$
Fantasticoo grazie ragazzi. Infatti si, potevo insistere di più sulla differenza di quadrati, kmq sono alle prime armi ancora, devo focalizzarmi di più sulle cause dell'indeterminazione. Grazie a tutti
Un osservazione, se il limite fosse stato $lim_(x->0)(sqrt (1+x)-root(3)(1-x))/x $, l'unico modo per arrivare alla soluzione è ricorrere a Taylor, facendo i calcoli dovrebbe risultare $5/6$,
mi sbaglio?
mi sbaglio?
Ciao francicko,
Concordo sul risultato, ma non su
Infatti, basta fare uso del limite notevole $lim_{x \to 0}frac{(1 + x)^a - 1}{x} = a $:
$ lim_{x->0}(sqrt(1+x)-root(3)(1-x))/x = lim_{x->0}(sqrt(1+x) - 1 - (root(3)(1-x) - 1))/x =$
$ = lim_{x->0}(sqrt(1+x) - 1)/x + lim_{x->0}(root(3)(1-x) - 1)/(- x) = $
$ = lim_{x->0}(sqrt(1+x) - 1)/x + lim_{t->0}(root(3)(1+t) - 1)/t = $
$ = 1/2 + 1/3 = 5/6 $
Concordo sul risultato, ma non su
"francicko":
l'unico modo per arrivare alla soluzione è ricorrere a Taylor
Infatti, basta fare uso del limite notevole $lim_{x \to 0}frac{(1 + x)^a - 1}{x} = a $:
$ lim_{x->0}(sqrt(1+x)-root(3)(1-x))/x = lim_{x->0}(sqrt(1+x) - 1 - (root(3)(1-x) - 1))/x =$
$ = lim_{x->0}(sqrt(1+x) - 1)/x + lim_{x->0}(root(3)(1-x) - 1)/(- x) = $
$ = lim_{x->0}(sqrt(1+x) - 1)/x + lim_{t->0}(root(3)(1+t) - 1)/t = $
$ = 1/2 + 1/3 = 5/6 $
"pilloeffe":
Ciao francicko,
Concordo sul risultato, ma non su
[quote="francicko"] l'unico modo per arrivare alla soluzione è ricorrere a Taylor
Infatti, basta fare uso del limite notevole $lim_{x \to 0}frac{(1 + x)^a - 1}{x} = a $:
$ lim_{x->0}(sqrt(1+x)-root(3)(1-x))/x = lim_{x->0}(sqrt(1+x) - 1 - (root(3)(1-x) - 1))/x =$
$ = lim_{x->0}(sqrt(1+x) - 1)/x + lim_{x->0}(root(3)(1-x) - 1)/(- x) = $
$ = lim_{x->0}(sqrt(1+x) - 1)/x + lim_{t->0}(root(3)(1+t) - 1)/t = $
$ = 1/2 + 1/3 = 5/6 $[/quote]
è giusto ma sotto era $x+x^2$
Beh, io sono partito dal nuovo limite proposto da francicko:
$ lim_(x->0)(sqrt (1+x)-root(3)(1-x))/x $
Comunque, tenendo conto che $ x + x^2 = x(1 + x) $, in realtà non è difficile dimostrare che si otterrebbe lo stesso risultato:
$ lim_{x \to 0} (sqrt (1+x)-root(3)(1-x))/(x + x^2) = lim_{x \to 0} (sqrt (1+x)-root(3)(1-x))/(x(1 + x)) = 5/6 $
Per inciso, si sarebbe potuto usare lo stesso limite notevole $lim_{x \to 0}frac{(1 + x)^a - 1}{x} = a $ anche sul limite originario:
$ lim_{x \to 0}(sqrt(1+x)-root(4)(1-x))/(x + x^2) = lim_{x \to 0}(sqrt(1+x)-root(4)(1-x))/(x(1 + x)) = lim_{x \to 0} 1/(1 + x) \cdot lim_{x \to 0}(sqrt(1+x)-root(4)(1-x))/x = $
$ = lim_{x \to 0} 1/(1 + x) \cdot lim_{x \to 0}(sqrt(1+x) - 1 - (root(4)(1-x) - 1))/x = $
$ = lim_{x \to 0} 1/(1 + x) \cdot lim_{x \to 0}(sqrt(1+x) - 1 - (root(4)(1-x) - 1))/x = $
$ = lim_{x \to 0} 1/(1 + x) \cdot [ lim_{x \to 0}(sqrt(1+x) - 1)/x + lim_{x \to 0} (root(4)(1-x) - 1)/(-x) ]= $
$ = lim_{x \to 0} 1/(1 + x) \cdot [ lim_{x \to 0}(sqrt(1+x) - 1)/x + lim_{t \to 0} (root(4)(1+ t) - 1)/t ]= $
$ = frac{1}{1} \cdot [1/2 + 1/4 ] = 3/4 $
$ lim_(x->0)(sqrt (1+x)-root(3)(1-x))/x $
Comunque, tenendo conto che $ x + x^2 = x(1 + x) $, in realtà non è difficile dimostrare che si otterrebbe lo stesso risultato:
$ lim_{x \to 0} (sqrt (1+x)-root(3)(1-x))/(x + x^2) = lim_{x \to 0} (sqrt (1+x)-root(3)(1-x))/(x(1 + x)) = 5/6 $
Per inciso, si sarebbe potuto usare lo stesso limite notevole $lim_{x \to 0}frac{(1 + x)^a - 1}{x} = a $ anche sul limite originario:
$ lim_{x \to 0}(sqrt(1+x)-root(4)(1-x))/(x + x^2) = lim_{x \to 0}(sqrt(1+x)-root(4)(1-x))/(x(1 + x)) = lim_{x \to 0} 1/(1 + x) \cdot lim_{x \to 0}(sqrt(1+x)-root(4)(1-x))/x = $
$ = lim_{x \to 0} 1/(1 + x) \cdot lim_{x \to 0}(sqrt(1+x) - 1 - (root(4)(1-x) - 1))/x = $
$ = lim_{x \to 0} 1/(1 + x) \cdot lim_{x \to 0}(sqrt(1+x) - 1 - (root(4)(1-x) - 1))/x = $
$ = lim_{x \to 0} 1/(1 + x) \cdot [ lim_{x \to 0}(sqrt(1+x) - 1)/x + lim_{x \to 0} (root(4)(1-x) - 1)/(-x) ]= $
$ = lim_{x \to 0} 1/(1 + x) \cdot [ lim_{x \to 0}(sqrt(1+x) - 1)/x + lim_{t \to 0} (root(4)(1+ t) - 1)/t ]= $
$ = frac{1}{1} \cdot [1/2 + 1/4 ] = 3/4 $
Siiii ottimo, questa è una grande mano quella che mi state dando. Era proprio l'approccio che stavo cercando. Emozionante la sostituzione di $-x$ era là che volevo vincere.
Infinitamente grazie, penso che adesso l'abbiamo risolta in tutti i modi possibili.
Infinitamente grazie, penso che adesso l'abbiamo risolta in tutti i modi possibili.
"superalba":
... penso che adesso l'abbiamo risolta in tutti i modi possibili. ...
No, manca De L'Hopital, il più semplice ...
Ah giusto 
caro buon vecchio de l'hopital. Per me raga va gia bene così tanto, non per negligenza, non l'ho ancora visto il de l'opital, ma credo si tratti semplicemtne di derivare tutto e provare, eventualmente derivare ulteriormente,mente,mente,mente.
Top ragazzi sempre in forma sulla matematica!!
caro buon vecchio de l'hopital. Per me raga va gia bene così tanto, non per negligenza, non l'ho ancora visto il de l'opital, ma credo si tratti semplicemtne di derivare tutto e provare, eventualmente derivare ulteriormente,mente,mente,mente. Top ragazzi sempre in forma sulla matematica!!
"superalba":
Top ragazzi sempre in forma sulla matematica!!
Sempre
"pilloeffe":
Ciao francicko,
Concordo sul risultato, ma non su
[quote="francicko"] l'unico modo per arrivare alla soluzione è ricorrere a Taylor
Infatti, basta fare uso del limite notevole $lim_{x \to 0}frac{(1 + x)^a - 1}{x} = a $:
$ lim_{x->0}(sqrt(1+x)-root(3)(1-x))/x = lim_{x->0}(sqrt(1+x) - 1 - (root(3)(1-x) - 1))/x =$
$ = lim_{x->0}(sqrt(1+x) - 1)/x + lim_{x->0}(root(3)(1-x) - 1)/(- x) = $
$ = lim_{x->0}(sqrt(1+x) - 1)/x + lim_{t->0}(root(3)(1+t) - 1)/t = $
$ = 1/2 + 1/3 = 5/6 $[/quote]
D'accordo, ma il limite notevole od asintotico altro non è che lo sviluppo in serie di Taylor arrestato al primo termine in $x $,
quello che intendevo dire è che nel caso che ho proposto la razionalizzazione iterata , come invece nel caso precedente , non è risolutiva, in quanto a numeratore permane il radicale.
L'unica alternativa è Hopital, come detto da @axpgn.
Mi sbaglio?
"francicko":
Mi sbaglio?
Sì:
$ lim_(x->0)(sqrt (1+x)-root(3)(1-x))/x = lim_(x->0)((sqrt (1+x)-root(3)(1-x))(sqrt(1+x)+root(3)(1-x)))/(x(sqrt(1+x)+root(3)(1-x))) = $
$ = lim_(x->0)((1+x)-root(3)((1-x)^2))/(x(sqrt(1+x)+root(3)(1-x))) = lim_(x->0)(1-root(3)((1-x)^2))/(x(sqrt(1+x)+root(3)(1-x))) + lim_(x->0)(x)/(x(sqrt(1+x)+root(3)(1-x))) = $
$ = lim_(x->0)(1-root(3)((1-x)^2))/(x(sqrt(1+x)+root(3)(1-x))) + lim_(x->0)1/(sqrt(1+x)+root(3)(1-x)) = $
$ = lim_(x->0)((1-root(3)((1-x)^2))(1 + root(3)((1-x)^2) + root(3)((1-x)^4)))/(x(sqrt(1+x)+root(3)(1-x))(1 + root(3)((1-x)^2) + root(3)((1-x)^4))) + 1/2 = $
$ = lim_(x->0)(1 - (1 - x)^2)/(x(sqrt(1+x)+root(3)(1-x))(1 + root(3)((1-x)^2) + root(3)((1-x)^4))) + 1/2 = $
$ = lim_(x->0)(1 - 1 + 2x - x^2)/(x(sqrt(1+x)+root(3)(1-x))(1 + root(3)((1-x)^2) + root(3)((1-x)^4))) + 1/2 = $
$ = lim_(x->0)(x(2 - x))/(x(sqrt(1+x)+root(3)(1-x))(1 + root(3)((1-x)^2) + root(3)((1-x)^4))) + 1/2 = $
$ = lim_(x->0)(2 - x)/((sqrt(1+x)+root(3)(1-x))(1 + root(3)((1-x)^2) + root(3)((1-x)^4))) + 1/2 = $
$ = 1/3 + 1/2 = 5/6 $
Naturalmente la faccenda sarebbe stata molto più laboriosa e sicuramente non avrei mai scelto questa strada se il limite fosse stato quello da te proposto, ma in generale è sempre rischioso fare affermazioni del tipo "l'unico modo per fare $x$ è $y$" che prestano il fianco a possibili smentite, specialmente nel caso dei limiti che, se non sono proprio di quelli "impestati" che si risolvono solo con infiniti e infinitesimi, si prestano spesso ad essere risolti in più di un modo (qualche volta anche in più di due...
).
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