Limite
$ \lim_{0,0} x^4 \sin (1/(x^2+|y|) $
faccio bene ad eseguirlo con la parametrizzazione?
faccio bene ad eseguirlo con la parametrizzazione?
Risposte
Sapendo che il seno vale al massimo uno, potresti maggiorare la funzione...
quindi valuto l esistenza del limite per $x^4$?
Ciao memoI8,
Riscrivo il limite un po' meglio:
$lim_((x,y)->(0,0)) x^4 sin(1/(x^2+|y|)) = 0$
Infatti, passando in coordinate polari, si ha:
$x^4 sin(1/(x^2+|y|)) = \rho^4 cos^4 \theta sin(1/(\rho^2 cos^2 \theta +\rho|sin \theta|)) $
E quindi si può scrivere la maggiorazione
$|x^4 sin(1/(x^2+|y|))| =|\rho^4 cos^4 \theta sin(1/(\rho^2 cos^2 \theta +\rho|sin \theta|))| \le \rho^4 $
E dato che $0 \le|f(x,y)|\le rho^4 $, la funzione è arbitrariamente vicina a $0$ quando $\rho $, cioè la distanza fra $(x,y)$ e $(0,0)$, è sufficientemente piccolo. Ne segue che il limite che hai proposto è $0$ proprio per definizione di limite.
Riscrivo il limite un po' meglio:
$lim_((x,y)->(0,0)) x^4 sin(1/(x^2+|y|)) = 0$
Infatti, passando in coordinate polari, si ha:
$x^4 sin(1/(x^2+|y|)) = \rho^4 cos^4 \theta sin(1/(\rho^2 cos^2 \theta +\rho|sin \theta|)) $
E quindi si può scrivere la maggiorazione
$|x^4 sin(1/(x^2+|y|))| =|\rho^4 cos^4 \theta sin(1/(\rho^2 cos^2 \theta +\rho|sin \theta|))| \le \rho^4 $
E dato che $0 \le|f(x,y)|\le rho^4 $, la funzione è arbitrariamente vicina a $0$ quando $\rho $, cioè la distanza fra $(x,y)$ e $(0,0)$, è sufficientemente piccolo. Ne segue che il limite che hai proposto è $0$ proprio per definizione di limite.
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