Limite
Salve a tutti, ho il seguente limite:
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} (cos \frac{1}{n})^{n^2} \)
Ho provato con i limiti notevoli nulla.
Sapete darmi una mano?
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} (cos \frac{1}{n})^{n^2} \)
Ho provato con i limiti notevoli nulla.
Sapete darmi una mano?
Risposte
Penso che volessi scrivere $x$ al posto delle $n$.
La tua forma indeterminata è del tipo $ 1^{infty} $...sfrutta il fatto che e $e^log(x)=x $ per $x>0$. Quindi il tuo limite si riconduce a risolvere il limite $x^2*log(cos(1/x))=-1/2$.
Pertanto il limite vale $e^{-1/2}=1/sqrt(e)$
La tua forma indeterminata è del tipo $ 1^{infty} $...sfrutta il fatto che e $e^log(x)=x $ per $x>0$. Quindi il tuo limite si riconduce a risolvere il limite $x^2*log(cos(1/x))=-1/2$.
Pertanto il limite vale $e^{-1/2}=1/sqrt(e)$
Oppure poni per comodità $1/n=t $ il limite diventa $lim_(t->0)(cost)^(1/t^2) $ ma $cost=sqrt (1-sin^2 (t)) $ inoltre $sin^2t~~t^2 $ ed $sqrt (1-t^2)~~(1-t^2/2) $, sostituendo si ha:
$lim_(t->0)(1-t^2/2)^(1/t^2) $ $=lim ((1-t^2/2)^(-2/t^2))^(-1/2) $ $=e^(-1/2)=1/sqrt(e)$.
Nel procedimento proposto da @feddy devi risolvere il limite ad esponente posto sempre $1/n=t $ si ha $lim_(t->0)(1/t^2)log (cost) $ $=lim (1/t^2)log(1-sin^2t)^(1/2) $ $=lim 1/(2t^2)log (1-sin^2t) $ ma $sin^2t~~t^2$ si ha $lim1/(2t^2)log (1-t^2) $ ma $log (1-t^2)~~-t^2$ proseguendo...
.. si arriva $=-1/2$ e sostituendo ad esponente $1/sqrt (e) $
$lim_(t->0)(1-t^2/2)^(1/t^2) $ $=lim ((1-t^2/2)^(-2/t^2))^(-1/2) $ $=e^(-1/2)=1/sqrt(e)$.
Nel procedimento proposto da @feddy devi risolvere il limite ad esponente posto sempre $1/n=t $ si ha $lim_(t->0)(1/t^2)log (cost) $ $=lim (1/t^2)log(1-sin^2t)^(1/2) $ $=lim 1/(2t^2)log (1-sin^2t) $ ma $sin^2t~~t^2$ si ha $lim1/(2t^2)log (1-t^2) $ ma $log (1-t^2)~~-t^2$ proseguendo...
.. si arriva $=-1/2$ e sostituendo ad esponente $1/sqrt (e) $
Vi ringrazio di aver risposto.
Al mio professore non piacciono quando si dice questo è circa questo, almeno sui limiti.
@feddy: come dici subito che quello fa $ 1/2 $?
Puoi fare i passaggi?
@francisco: cos t non è uguale alla radice di 1-sin^2 t, dove va a finire la radice?
Con la radice non posso applichicare il limite notevole del logaritmo 1+x con x che tende a zero.
Premesso che il mio prof non vole che usiamo il circa.
Al mio professore non piacciono quando si dice questo è circa questo, almeno sui limiti.
@feddy: come dici subito che quello fa $ 1/2 $?
Puoi fare i passaggi?
@francisco: cos t non è uguale alla radice di 1-sin^2 t, dove va a finire la radice?
Con la radice non posso applichicare il limite notevole del logaritmo 1+x con x che tende a zero.
Premesso che il mio prof non vole che usiamo il circa.
Scusa sono abituato ad usate gli asintotici, si risolve in modo equivalente con i limiti notevoli, sono la stessa cosa!
$lim_(t->0)(cost)^(1/t^2) $ $=(sqrt (1-sin^2t))^(1/t^2) $ $= lim ((1-sin^2t)^(1/2))^(1/t^2) $ $=lim( (1-sin^2t)^(-1/t^2))^(-1/2) $ $=lim( (1-sin^2t)^(-1/sin^2t))^(-1/2sin^2t/t^2) $ $=e^(-1/2×1) =1/sqrte $ passando al limite ad esponente abbiamo il noto limite notevole $lim_(t->0)sin^2t/t^2=limsint/t×sint/t=1×1 =1$, la base tende ad $e $, in definitiva avremo $=e^(-1/2×1)=e^(-1/2)=1/sqrte $, va bene così?
$lim_(t->0)(cost)^(1/t^2) $ $=(sqrt (1-sin^2t))^(1/t^2) $ $= lim ((1-sin^2t)^(1/2))^(1/t^2) $ $=lim( (1-sin^2t)^(-1/t^2))^(-1/2) $ $=lim( (1-sin^2t)^(-1/sin^2t))^(-1/2sin^2t/t^2) $ $=e^(-1/2×1) =1/sqrte $ passando al limite ad esponente abbiamo il noto limite notevole $lim_(t->0)sin^2t/t^2=limsint/t×sint/t=1×1 =1$, la base tende ad $e $, in definitiva avremo $=e^(-1/2×1)=e^(-1/2)=1/sqrte $, va bene così?
Perfetto.
Alcune curiosità.
Perché al quarto passaggio, hai messo subito - 1/2 e - 1/t^2?
Perché la radice di 1-t^2 circa 1-t^2/2? Nel tuo secondo post.
Perché al mio prof non piacciono i circa(asintotici)?
Alcune curiosità.
Perché al quarto passaggio, hai messo subito - 1/2 e - 1/t^2?
Perché la radice di 1-t^2 circa 1-t^2/2? Nel tuo secondo post.
Perché al mio prof non piacciono i circa(asintotici)?
In modo da avere subito il limite notevole del tipo $lim_(x->0)(1+(-x))^(1/(-x))=e$
Gli asintotici sono del tutto equivalenti ai limiti notevoli, $sqrt (1-x^2)~~(1-x^2/2) $ in quanto $sqrt(1-x^2)=(1-x^2/2+o (x^2))$ dove $o (x^2) $ è un infinitesimo di ordine superiore ad $x^2$ cioè in detto in soldoni, tende a zero più velocemente, quindi diventa trascurabile.
Gli asintotici sono del tutto equivalenti ai limiti notevoli, $sqrt (1-x^2)~~(1-x^2/2) $ in quanto $sqrt(1-x^2)=(1-x^2/2+o (x^2))$ dove $o (x^2) $ è un infinitesimo di ordine superiore ad $x^2$ cioè in detto in soldoni, tende a zero più velocemente, quindi diventa trascurabile.
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