Limite

[angelox9]

Salve a tutti, ho il seguente limite:

\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty } \frac{ ln(\frac{1}{x^5})+ln \sqrt{x}}{2ln(x^6+x^2)} \)
Ho una forma indeterminata al numeratore del tipo: \(\displaystyle -\infty+\infty \)
Al denominatore ho: \(\displaystyle +\infty \)

Proviamo a risolverla:
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty } \frac{ ln(\frac{\sqrt{x}}{x^5})}{2ln\left[x^6(1+\frac{1}{x^4})\right]} =
\)
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty } \frac{ ln(x^{-\frac{9}{2}})}{2\left[ln (x^6)+ln(1+\frac{1}{x^4})\right]} = \)
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty } \frac{ ln(x^{-\frac{9}{2}})}{2\left[ln (x^6)+\frac{ln(1+\frac{1}{x^4})}{\frac{1}{x^4}}\frac{1}{x^4}\right]} = \)

\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty } \frac{ -\frac{9}{2}ln(x)}{2\left[ln (x^6)+
\frac{ln(1+\frac{1}{x^4})}{\frac{1}{x^4}}\frac{1}{x^4}
\right]} = \)

Da qui in poi, so come risolverla.
Consigli?

[Anacleto13]

Non ho capito cosa hai fatto tra il secondo e il terzo passaggio ma

$log(1+t) ~ t$ per $t\to0$

[angelox9]

Ho moltiplicato e diviso per: \( \displaystyle \frac{1}{x^4} \)
per poter applicare il limite notevole, sbaglio?

Pensavo cosi:
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty } \frac{ -\frac{9}{2}ln(x)}{2\left[6ln (x)+
\frac{ln(1+\frac{1}{x^4})}{\frac{1}{x^4}}\frac{1}{x^4}
\right]} = \)
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty } \frac{ -\frac{9}{2}ln(x)}{12ln (x)+
\frac{ln(1+\frac{1}{x^4})}{\frac{1}{x^4}}\frac{2}{x^4}
} = \)
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty } \frac{ -\frac{9}{2}ln(x)}
{12ln (x)(1+
\frac{ln(1+\frac{1}{x^4})}{\frac{1}{x^4}}\frac{2}{12ln (x)x^4}
)} = \)

\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty } \frac{ -\frac{9}{2}ln(x)}
{12ln (x)(1+
\frac{ln(1+\frac{1}{x^4})}{\frac{1}{x^4}}\frac{1}{6ln (x)x^4}
)} = \)

\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty } \frac{ -\frac{3}{2}}
{4(1+
\frac{ln(1+\frac{1}{x^4})}{\frac{1}{x^4}}\frac{1}{6ln (x)x^4}
)} = -\frac{3}{8}\)

Sbaglio?

[pilloeffe]

Ciao angelok90,

Il risultato è corretto.