Limite

[Armstrong]

Buon pomeriggio,
sono "bloccato" nel risolvere questo limite.

$lim_(x -> +oo) |x+1|e^|arctanx-1|-xe^(pi/2-1) $

Qualcuno ha qualche idea??

[cooper1]

io direi che il limite fa 0. il modulo di $x+1$ per x grande (ed in particolare >-1) è positivo e all'infinito domina la x. l'esponente anche se ha il modulo è uno scalare quindi sarà quel che sarà. a questo punto la differenza fra gli esponenziali è zero. praticamente io farei così:
$ lim_(x -> +oo) (x+1)e^(|arctan x-1|)-xe^(pi/2-1)=lim_(x -> +oo) (x+1)e^(|arctan x-1|)-lim_(x -> +oo) xe^(pi/2-1) $ i due limiti sono uguali in modulo e opposti di segno (per $x-> +oo$) quindi il limite fa zero.

[Armstrong]

"cooper":io direi che il limite fa 0. il modulo di $x+1$ per x grande (ed in particolare >-1) è positivo e all'infinito domina la x. l'esponente anche se ha il modulo è uno scalare quindi sarà quel che sarà. a questo punto la differenza fra gli esponenziali è zero. praticamente io farei così:
$ lim_(x -> +oo) (x+1)e^(|arctan x-1|)-xe^(pi/2-1)=lim_(x -> +oo) (x+1)e^(|arctan x-1|)-lim_(x -> +oo) xe^(pi/2-1) $ i due limiti sono uguali in modulo e opposti di segno (per $x-> +oo$) quindi il limite fa zero.

Essendo una forma indeterminata $+oo -oo $ posso concludere così brutalmente?
Nella differenza degli esponenziali non mi convince il fatto che $pi/2$ è una costante mentre $arctan x $ per $x -> +oo$ tende a $pi/2$ ma non è tale.

[cooper1]

hai perfettamente ragione, scusa. non mi ero minimamente accorto della forma indeterminata. allora rivedendo e correggendo.... tolgo il modulo anche all'esponente perchè per x positive e sufficientemente grandi l'argomento è positivo. ricordo poi che $ arctanx+arctan(1/x)=pi/2 $ allora, esplicitando tutti i termini e raccogliendo $ xe^(pi/2-1) $ abbiamo che
$ xe^(pi/2-1)[e^(-arctan(1/x))+e^(-arctan(1/x))/x-1] $ se ora sviluppi la parentesi quadra fino al secondo ordine trovi che va a zero con un ordine pari a $ -1/(2x^2) $ che quindi porta il limite iniziale a zero!
scusa ancora per la svista!