Limite

[valerio71]

Ciao a tutti, vorrei capire perché questo limite non fa $e^-3$ ma $1/e$ (secondo Wolframalpha).

$lim_(x->0) (cos2x + sin(2x^2) - sin(x^4))^(3/x^4)$

Io l'ho messo come esponenziale in modo da avere l'esponente ($3/x^4$) che moltiplica il logaritmo di tutto il resto, che sviluppandolo con Taylor così:

$ 1 - 2x^2 + 2x^2 - x^4 $

(coseno ai primi due ordini e seno al primo, tanto comunque sono "sfasati" di uno, non è possibile svilupparli allo stesso)

Rimane solo $1-x^4$ nel logaritmo, quindi applico Taylor anche lì e dovrei poterlo scrivere semplicemente come $-x^4 + o(x^4)$, moltiplicandolo con quello che era l'esponente iniziale mi rimane appunto $e^(-3)$

Perché verrebbe $1/e$ ?

[Rigel1]

Devi sviluppare almeno fino al quarto ordine; in particolare
\[
\cos(2x) = 1- 2x^2 + \frac{2}{3} x^4 + o(x^4).
\]

[valerio71]

"Rigel":Devi sviluppare almeno fino al quarto ordine; in particolare
\[
\cos(2x) = 1- 2x^2 + \frac{2}{3} x^4 + o(x^4).
\]

Sì in effetti così viene, ti ringrazio, però ho una domanda:

Senza conoscere il risultato, come facevo a sapere che dovevo arrivare al quarto grado col coseno? Io ero rimasto al fatto che dovevo cercare lo sviluppo più basso con cui non si annulla tutto.


Ah, per caso ci sono modi con cui verificare il risultato "a mano"?