Limite
Buonasera, ho qualche problemino con questo limite:
\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac {e^{x^4}-cos(x^2)}{x^2 ln(1+x^2)} \)
Applicando de l'Hopital ottengo
\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac {2x(2x^2e^{x^4}+sin(x^2))}{2x(ln(1+x^2)+\frac{x^2}{1+x^2})} \)
Adesso suppongo che si debbano utilizzare i limiti notevoli, ma non riesco ad ottenere il risultato giusto. Consigli?
\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac {e^{x^4}-cos(x^2)}{x^2 ln(1+x^2)} \)
Applicando de l'Hopital ottengo
\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac {2x(2x^2e^{x^4}+sin(x^2))}{2x(ln(1+x^2)+\frac{x^2}{1+x^2})} \)
Adesso suppongo che si debbano utilizzare i limiti notevoli, ma non riesco ad ottenere il risultato giusto. Consigli?
Risposte
Hai provato con Taylor? 
a parte taylor:
a denominatore hai un prodotto e quindi non ti creano problema le equivalenze asintotiche:
sicuramente se approssimi a un ordine superiore con taylor(basta il secondo), già non hai problemi.
Considera che nemmeno il primo ordine crea particolari problemi, solo che poi approssimi a una retta costante.
a denominatore hai un prodotto e quindi non ti creano problema le equivalenze asintotiche:
$ln(1+x^2)approx x^2$ per $x->0$
sicuramente se approssimi a un ordine superiore con taylor(basta il secondo), già non hai problemi.
Considera che nemmeno il primo ordine crea particolari problemi, solo che poi approssimi a una retta costante.
"anto_zoolander":
a parte taylor:
a denominatore hai un prodotto e quindi non ti creano problema le equivalenze asintotiche:
$ln(1+x^2)approx x^2$ per $x->0$
sicuramente se approssimi a un ordine superiore con taylor(basta il secondo), già non hai problemi.
Considera che nemmeno il primo ordine crea particolari problemi, solo che poi approssimi a una retta costante.
Ma tutto questo prima o dopo aver applicato de l'Hopital?
prima
Mi sono reso conto che ho problemi nell'applicare lo sviluppo in serie di Taylor, per cui vorrei rivolgervi alcune domande. Quando capisco a quale ordine devo fermarmi? Inoltre se avessi il \(\displaystyle cos(\frac {5}{x}) \), come svolgo lo sviluppo in serie? La \(\displaystyle x \) al denominatore mi crea problemi 
Anche io dividerei numeratore e numeratore per $x^2$ sfruttanodo i limiti notevoli del seno e del logaritmo,
"Enri93":
Inoltre se avessi il \(\displaystyle cos(\frac {5}{x}) \), come svolgo lo sviluppo in serie? La \(\displaystyle x \) al denominatore mi crea problemi
Dato che $x->0$ puoi usare direttamente lo sviluppo di Maclaurin della funzione $cos (t)=1-t^2/2+t^4/(4!)+...$ ed in seguito sostituire $t=x/5$.
Io l'ho risolto così:
\(\displaystyle e^{x^4} \sim 1+x^4+\frac{x^8}{2}+o(x^8)\\cos(x^2)\sim 1-\frac{x^4}{2}+o(x^5) \)
Inoltre per equivalenza asintotica
\(\displaystyle ln(1+x^2)\sim x^2 \)
ottengo
\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac {1+x^4+\frac{x^8}{2}+o(x^8)-(1-\frac{x^4}{2}+o(x^5))}{x^4}=...=3/2 \)
PS: il suggerimento è stato indispensabile, però vorrei capire a quale ordine fermarmi. C'è una regola?
\(\displaystyle e^{x^4} \sim 1+x^4+\frac{x^8}{2}+o(x^8)\\cos(x^2)\sim 1-\frac{x^4}{2}+o(x^5) \)
Inoltre per equivalenza asintotica
\(\displaystyle ln(1+x^2)\sim x^2 \)
ottengo
\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac {1+x^4+\frac{x^8}{2}+o(x^8)-(1-\frac{x^4}{2}+o(x^5))}{x^4}=...=3/2 \)
PS: il suggerimento è stato indispensabile, però vorrei capire a quale ordine fermarmi. C'è una regola?
"Magma":
[quote="Enri93"] Inoltre se avessi il \(\displaystyle cos(\frac {5}{x}) \), come svolgo lo sviluppo in serie? La \(\displaystyle x \) al denominatore mi crea problemi
Dato che $x->0$ puoi usare direttamente lo sviluppo di Maclaurin della funzione $cos (t)=1-t^2/2+t^4/(4!)+...$ ed in seguito sostituire $t=x/5$.[/quote]
Quindi \(\displaystyle 1-\frac{25}{2x^2}+o(\frac{125}{x^3}) \)? Mi fermo al secondo ordine ovviamente, però vorrei capire se il concetto è giusto!
Beh,è il denominatore a crearti problemi ed è un infinitesimo del IV° ordine proprio per l'equivalenza asintotica cui facevi cenno:
fermati lì pure al numeratore,se proprio vuoi usare Taylor,altrimenti prova a sottrarre ed aggiungere 1 a quest'ultimo e poi dividerlo per $"x"^"4"$(ovviamente insieme al denominatore..)che è altrettanto istruttivo.
Saluti dal web.
fermati lì pure al numeratore,se proprio vuoi usare Taylor,altrimenti prova a sottrarre ed aggiungere 1 a quest'ultimo e poi dividerlo per $"x"^"4"$(ovviamente insieme al denominatore..)che è altrettanto istruttivo.
Saluti dal web.
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