Limite

[Dema19]

Questo limite mi sta facendo un po' impazzire

\(\displaystyle \lim_{x\to \infty} [x^2 cos(\frac{5}{x}) - x(x-1)e^{\frac{1}{x}}]\)

Ho provato a mettere in evidenza \(\displaystyle x^2 \) ma non sono arrivato ad una conclusione. Consigli?

[andrello1]

Ciao, credo che si debbano usare gli asintotici del coseno e dell'esponenziale per $x->0$ (ricorda che $1/x->0$ per $x->oo$).

Con $x->0$:
$cosx~1-1/2x^2$
$e^x-1~x$

Prova così

[francicko]

Non vorrei sbagliarmi, ma per la risoluzione di questo limite e' necessario lo sviluppo in serie di taylor sino al termine di secondo grado, almeno per il termine $e^(1/x) $;
$cos (5/x)~1-((25)/2)(1/x^2) $ ed $e^(1/x)=1+1/x+1/(2x^2)+1/(o (x^2))$ sostituendo si ha:
$lim_(x->infty)x^2(1-((25)/2)(1/x^2))+(x-x^2)(1+1/x+1/(2x^2)) $ $=lim_(x->infty)(x^2-(25)/2+x+1+1/(2x)-x^2-x-1/2)$ $=lim_(x->infty)-(25)/2+1+1/(2x)-1/2$ $=lim_(x->infty)(-(25)/2+1-1/2)$ $=-(24)/2=-12$
L'asintotico non e' sufficiente per il termine $e^(1/x)~(1+1/x)$ in quanto sostituendo, non permetterebbe di eliminare correttamente l'indeterminazione ed arrivare al calcolo esatto del limite.

[Dema19]

"francicko":Non vorrei sbagliarmi, ma per la risoluzione di questo limite e' necessario lo sviluppo in serie di taylor sino al termine di secondo grado, almeno per il termine $e^(1/x) $;
$cos (5/x)~1-((25)/2)(1/x^2) $ ed $e^(1/x)=1+1/x+1/(2x^2)+1/(o (x^2))$ sostituendo si ha:
$lim_(x->infty)x^2(1-((25)/2)(1/x^2))+(x-x^2)(1+1/x+1/(2x^2)) $ $=lim_(x->infty)(x^2-(25)/2+x+1+1/(2x)-x^2-x-1/2)$ $=lim_(x->infty)-(25)/2+1+1/(2x)-1/2$ $=lim_(x->infty)(-(25)/2+1-1/2)$ $=-(24)/2=-12$
L'asintotico non e' sufficiente per il termine $e^(1/x)~(1+1/x)$ in quanto sostituendo, non permetterebbe di eliminare l'indeterminazione ed arrivare al calcolo del limite.

Mi sa che è proprio così, grazie mille della risposta ad entrambi comunque!