Limite

[f4747912]

Ragazzi ho difficolta con questo limite..


$lim x->0 (ln(sinx)-lnx)/(x-sqrtxarctansqrtx)$

Su wolfram alpha il limite dice che deve trovarsi $1/2$


ho individuato la forma $0/0$



ma non trovo altro modo se non lo sviluppo in serie.. che comunque non so come fare

Grazie per l'aiuto

[anto_zoolander]

rimosso

[f4747912]

Grazie mille.. non mi trovo pero nel primo passaggio come si trova $x-x^2$ non dovrebbe essere $x-x$? stessa cosa dopo che hai applicato hopital.. Grazie mille per l'aiuto .. è la prima volta che mi trovo con un limite cosi

[f4747912]

Al denominatore non mi trovo con $x^2$ se $arctansqrtx$ è equivalente a $sqrtx$ moltiplicando per $sqrtx$ sarebbe $x-x$ ??

poi non mi trovo nei passaggi dopo hopital..

[anto_zoolander]

No infatti ho sbagliato io. Ho cancellato quella cosa che non stava da nessuna parte. Perdonami, ieri ho avuto gli esami di stato e sono ancora preso dalla botta.

[anto_zoolander]

Allora l'ho fatto, però devo ammettere che è rognoso. Comincio prendendo:

$x-sqrtxarctan(sqrtx)$ e cerco un'equivalenza asintotica con il campione $1/x^alpha$ il valore di $alpha$ che ho ottenuto, per cui il limite risulti finito è $alpha=2$

$lim_(x->0^+)(x-sqrtxarctan(sqrtx))/x^2=1/3$

dunque per def. di equivalenza asintotica $x-sqrtxarctan(sqrtx)$\(\displaystyle \sim \)$1/3x^2$ per $x->0^+$

dunque ora il limite da risolvere è:

$lim_(x->0^+)ln(sinx/x)/(1/3x^2)=[0/0]overbrace{=}^Hlim_(x->0^+)[(x/sinx)*(xcosx-sinx)/x^2]/(2/3x)$

...passaggi algebrici...

$lim_(x->0^+)(xcosx-sinx)/(2/3x^2sinx)$ ora $sinx$\(\displaystyle \sim \)$x$ per $x->0^+$

naturalmente vado cercando "prodotti" per usare tranquillamente le eq. asintotiche

$lim_(x->0^+)(xcosx-sinx)/(2/3x^3)=[0/0]overbrace{=}^H lim_(x->0^+)(cosx+x(-sinx)-cosx)/(2x^2)$

dunque $lim_(x->0^+)-(xsinx)/(2x^2)=lim_(x->0^+)-1/2[sinx/x]=-1/2$

Non riscontro errori nei calcoli, spero sia sufficientemente chiaro
(e di essermi fatto perdonare )

[axpgn]

@guido fonzo

Perché l'hai postato un'altra volta?

[f4747912]

ma non capisco wolfram alpha come fa a fare uscire $1/3$

e in che modo applica Hopital.. escono calcoli strani.

[anto_zoolander]

Aspetta $1/3$ è il primo limite, quello che mi serve per calcolare un'equivalenza asintotica con il denominatore.

[f4747912]

Si ho visto.. comunque è laborioso come limite

[anto_zoolander]

Senza gli sviluppi si(di cui appunto per adesso non sono munito). Ma d'altronde se è in un esame ci sta.