Limite

[intrulli]

Buonasera a tutti,
qualcuno potrebbe gentilmente darmi una mano su questo limite?

$ lim_(x -> 0) (e^x-cosx)/(x-tanx) $

Grazie mille in anticipo

[axpgn]

Hopital

[intrulli]

L'ho applicato. Sia effettuando prima delle equivalenze asintotiche (aggiungendo +1 e -1 a numeratore) sia partendo dalla traccia così com'è. Dopo averlo applicato una volta, non mi ritrovo più una forma indeterminata del tipo 0/0 e provando a risolvere mi vien fuori $ oo $ e non $ -oo $ (come dovrebbe risultare secondo Wolphram)

[quantunquemente]

e infatti viene $-infty$
$ lim_(x -> 0) (1-1/cos^2x)=0^- $

[intrulli]

Grazie. Era proprio questo l'errore. Mi capita spesso di effettuare una semplice sostituzione della x con il valore a cui tende e faccio questo errore.
Ma come faccio a fare rapidamente un ragionamento del genere? Io in questi casi mi aiuto con la calcolatrice (in questo caso ad esempio per capire l'errore ho calcolato cos(0.1) ) ma probabilmente non è il metodo migliore

[quantunquemente]

beh ,qui puoi ragionare sul fatto che $cos^2xleq1$ e quindi $1/cos^2xgeq1$

[anto_zoolander]

Alternativamente

$lim_(x->0)(e^x-cosx)/(x-tanx)$

scomponiamo un po' le cose per far spuntare i limiti notevoli

$lim_(x->0)((e^x-1)/x+(1-cosx)/x)*1/(1-tanx/x)$

considera $tanx/x -> 1^+$ per $x->0$

Questo perché si ha $sinx/x * 1/cosx$

$lim_(x->0)sinx/x=1$

$lim_(x->0)1/cosx=1^+$

Il secondo si giustifica considerando che $cosxleq1$ quindi valori sempre più piccoli di $1$ ad esempio $999/1000$ si ha $1/(999/1000) = 1000/999$ ovvero numero sempre un po' più grande di $1$

$lim_(x->0)((e^x-1)/x+(1-cosx)/x)*1/(1-tanx/x) = [(1+0)*1/(1-1^+)] = -infty$

[intrulli]

Grazie tantissimo a tutti!