Limite

[daddeno96]

salve a tutti ho risolto questo limite con e hopital
$ lim_(x -> 0) (log(1+x)-log(1-x)-sen(2x))/(x(1-cosx) $
il limite con hopital è uguale a 4 ora sto provando a risolverlo con taylor ma non riesco a capire come funziona qualcuno può gentilmente darmi una mano?

[renat_1]

il denominatore è di terzo ordine di infinitesimo, quindi sviluppa il numeratore fino al terzo grado; se si semplifica tutto allora il limite fa 0, se rimangono solo addendi di terzo grado allora si tratta di un numero reale diverso da 0, se rimane qualcosa di grado inferiore al terzo allora il limite fa infinito.

[daddeno96]

grazie mille ma se non ti creo problemi potresti scrivermi tutti i passaggi per quanto riguarda quest tipo di procedimento perchè ho davvero molte perplessità su come appicarlo ti ringrazio per la risposta cmq;)

[renat_1]

Ecco il procedimento
Numeratore:
$log(1+x)=x-x^2/2+x^3/3+o(x^3)$
$log(1-x)=-x-x^2/2-x^3/3+o(x^3)$
$sen(2x)=2x-(2x)^3/6+o(x^3)
$
denominatore:
$(1-cosx)=1/2x^2+o(x^2)
$
sviluppando la frazione viene:
$
\frac{x-x^2/2+x^3/3+x+x^2/2+x^3/3-2x+8x^3/6+o(x^3)}{1/2x^3+o(x^3)}=4$ per $x->0
$

[daddeno96]

grazie mille penso di aver capito e nel caso in cui resti qualche x con grado di verso invece come dovrei procedere?mettondo in evidenza la x col grado minore o in che modo ? scusa se ti tormento

[renat_1]

se ti fosse rimasto qualcosa sarebbe stato di grado minore a 3, quindi raccogliendo la x di grado più piccolo e semplificando è facile verificare che il limite avrebbe fatto infinito (il numeratore tenderebbe ad un numero intero e il denominatore a 0)
in generale quando parliamo di infinitesimi, quelli che contano sono quelli di grado più piccolo il resto lo puoi cancellare (è il contrario degli infiniti)
scommetto che ti stai preparando per analisi , quando hai l'esame? (io ce l'ho l'11)

[daddeno96]

io domani purtroppo... avevo dei piccoli dubbi su taylor lol
speriao bene in bocca al lupo