Limite

[Magma1]

Buonasera,

nel seguente limite

$ lim_(x->-oo) sqrt(x^2+2x)+x $

ho fatto in questo modo

$ sqrt(x^2+2x)+x=[(sqrt(x^2+2x)+x)(sqrt(x^2+2x)-x)]/(sqrt(x^2+2x)-x)=(x^2+2x-x^2)/(sqrt(x^2+2x)-x)=(2x)/(sqrt(x^2+2x)-x)=$



$=(2x)/(xsqrt(1+(2x)/(x^2))-x)=(2x)/(-x(-sqrt(1+(2x)/(x^2))+1))~~ (2x)/(-x) $

e quindi mi verrebbe $ lim_(x->-oo)(2x)/(-x)=-2$, ma so già che il limite deve essere $-1$. Non capisco dove sbaglio

[axpgn]

Quando "estrai" la $x$ dalla radice non puoi mettere "solo" $x$ ma devi mettere il valore assoluto così $|x|$ e quindi in pratica ti ritrovi con $-x-x$ al denominatore ...

Cordialmente, Alex

[Magma1]

"axpgn":[...]
e quindi in pratica ti ritrovi con $-x-x$ al denominatore ...

Questa parte l'ho capita un po' meno... non dovrei avere $ (2x)/(| x| sqrt(1+(2x)/(x^2))-x)=(2x)/(| x| (sqrt(1+(2x)/(x^2))-1) $ ?

[axpgn]

Prova a riscriverla dal punto in cui estrai la $x$ dalla radice e poi "sciogli" il valore assoluto e prosegui ...

[Magma1]

Ho modificato il post mentre mi rispondevi, mi viene così


$ (2x)/(| x| sqrt(1+(2x)/(x^2))-x)=(2x)/(| x| (sqrt(1+(2x)/(x^2))-1) $, non devo mettere in evidenza il modulo di x?

[axpgn]

No, per prima cosa elimina il valore assoluto, non proseguire ... dai, è semplice ...

[Magma1]

$|x| sqrt(1+(2x)/(x^2))-x={ ( (x)sqrt(1+(2x)/(x^2))-x ),( (-x)sqrt(1+(2x)/(x^2))-x ):} $ a seconda che $x$ sia $x>0$ o $x<0$, giusto;

[axpgn]

Sì, giusto ma dato che $x$ tende a meno infinito il caso è uno solo quindi ...

[francicko]

Scusate se mi intrometto, se riscrivo il limite nel modo seguente:
$lim_(x->-infty)sqrt(x^2+2x)+x$ $=lim_(x->+infty)sqrt (x^2-2x)-x=$ $lim_(x->+infty) ((sqrt (x^2-2x)-x)×(sqrt(x^2-2x)+x))/(sqrt(x^2-2x)+x)$ $=lim_(x->+infty)(x^2-2x-x^2)/(sqrt(x^2-2x)+x)$ $=lim_(x->+infty)(-2x)/(sqrt (x^2)+x) $ $=lim_(x->+infty)(-2x)/(2x)=-1$,
sarebbe sbagliato?

[axpgn]

Ma è la stessa, non è necessario quel passaggio in più e comunque anche qui, quando estrai la $x$ dalla radice devi metterla in valore assoluto ...

[Magma1]

"axpgn":Sì, giusto ma dato che $x$ tende a meno infinito il caso è uno solo quindi ...

Giusto, quindi considero solo $( (-x)sqrt(1+(2x)/(x^2))-x )$

"francicko":
[...]$ =lim_(x->+infty)(-2x)/(sqrt (x^2)+x) $ $ =lim_(x->+infty)(-2x)/(2x)=-1 $,

Io però non riesco a capire come è venuto fuori $2x$ al denominatore:

$lim_(x->-oo) (2x)/(-x(sqrt(1+(2x)/(x^2))+1 ))~~(2x)/(-x)$

[Lo_zio_Tom]

"Magma":
Io però non riesco a capire come è venuto fuori $2x$ al denominatore:

$lim_(x->+oo) (-2)/((sqrt(1+(2x)/(x^2))+1 ))$

come no? ce l'hai anche tu....se guardi bene...per $x->+oo$ hai $1+1$ al tuo denominatore

[Magma1]

"tommik":[quote="Magma"]
Io però non riesco a capire come è venuto fuori $2x$ al denominatore:

$lim_(x->+oo) (-2)/((sqrt(1+(2x)/(x^2))+1 ))$

come no? ce l'hai anche tu....se guardi bene...per $x->+oo$ hai $1+1$ al tuo denominatore[/quote]

Ma non posso usare questo metodo:

$lim_(x->+- oo) (a_n x^n {1+ termini che tendono a 0})/(b_m x^m {1+ termini che tendono a 0}) = lim_(x->+-oo) (a_n x^n)/(b_m x^m)$

calcolando, così, il limite del rapporto dei monomi di grado massimo?

[Lo_zio_Tom]

certo che puoi....e quindi? cosa ti risulta? quali e quanti sono i termini di grado massimo al denominatore?

[Magma1]

$lim_(x->-oo) (2x)/(-x(sqrt(1+(2x)/(x^2))+1 ))=lim_(x->-oo)(2x)/(-x)=-2$

Se metto in evidenza $-x$, tutto quello che sta nella parentesi non dove più considerarlo, giusto? Capisco che deve venire un due al denominatore ma non riesco a "vederlo"...

[Lo_zio_Tom]

"Magma":$lim_(x->-oo) (2x)/(-x(sqrt(1+(2x)/(x^2))+1 ))=lim_(x->-oo)(2x)/(-x)=-2$

Se metto in evidenza $-x$, tutto quello che sta nella parentesi non dove più considerarlo, giusto? Capisco che deve venire un due al denominatore ma non riesco a "vederlo"...

perché non devi considerarlo? metti in evidenza x e la semplifichi con quella sopra...poi vedi cosa succede per $x->oo$

ti faccio notare che il limite risulta indeterminato proprio perché contiene un "fattore di indeterminazione" che in questo caso è proprio $x$. Semplificandola, la eliminiamo ed i limite diventa determinato:

$-2/(sqrt(1+0)+1)=-1$

è più chiaro ora?

[axpgn]

A parte il fatto che non capisco perché insisti a raccogliere la $x$ al denominatore (è inutile), anche così facendo perché consideri la radice come se fosse zero? La radice vale uno ...

[Magma1]

Ah... trovato $lim_(x->-oo)(sqrt(1+(2x)/(x^2)) +1)=2$, in questo caso c'è un 'altro' $1$ che si fa a sommare con $sqrt(1)$; apposto, grazie a tutti per l'aiuto.

EDIT:

"axpgn":A parte il fatto che non capisco perché insisti a raccogliere la $x$ al denominatore (è inutile), anche così facendo perché consideri la radice come se fosse zero? La radice vale uno ...

Sono abituato in questo modo e l'abitudine è un brutto vizio da levare...
Comunque davo per scontato che una volta messo in evidenza la $x$, tutto il resto venisse (1+ tutti zeri), ero troppo offuscato da questa considerazione da non considerare $sqrt(1)+1$