Limite
Ciao a tutti, vi propongo due limiti che non sono riuscita a svolgere, uno iene da uno studio di funzione per trovare un asintoto, uno invece è un esercizio vero e proprio
1 $\ lim_ (x->0) ((2x^2)/(1-log abs x)) $
2 $\ lim_ (x-> infty) ( x^(x/(x+2)) *(\pi - arctg( x + x^2) - arctg(x)) $
Il primo come dicevo viene da uno studio di funzione, e non riesco proprio a capire come risolverlo considerando che il logaritmo di zero non esiste... Per quanto riguarda il secondo ho provato a mettere tutto come esponente del logaritmo naturale, ma poi non so come andare avanti.. potete aiutarmi? Grazie in anticipo
1 $\ lim_ (x->0) ((2x^2)/(1-log abs x)) $
2 $\ lim_ (x-> infty) ( x^(x/(x+2)) *(\pi - arctg( x + x^2) - arctg(x)) $
Il primo come dicevo viene da uno studio di funzione, e non riesco proprio a capire come risolverlo considerando che il logaritmo di zero non esiste... Per quanto riguarda il secondo ho provato a mettere tutto come esponente del logaritmo naturale, ma poi non so come andare avanti.. potete aiutarmi? Grazie in anticipo
Risposte
Per il limite $lim_(x->infty)(arctan (x+sqrt (x))-arctan (x))/(sqrt (2x))$ come fatto in un limite precedente conviene sfruttare la già nota proprieta dell' arcotangente:
$arctan (t)+arctan (1/t)=(pi)/2$;
A questo punto aggiungo e tolgo a numeratore la quantità $(pi)/2$, pertanto avro':
$lim_(x->infty)(x^2)×(arctan(x+sqrt(x))-(pi)/2+(pi)/2-arctan (x))/(sqrt (2x) $,
ma $arctan (x+sqrt (x))-(pi)/2=-arctan (1/(x+sqrt(x))$,
ed, $(pi/2)-arctan(x)=arctan (1/x) $,
sostituendo avremo:
$lim_(x->infty)(x^2)×(arctan (1/(x+sqrt(x))+arctan(x))/(sqrt (2x))$
adesso essendo che negli argomenti ho quantità che tendono a $0$ per $x->infty$, posso usare gli asintotici avendo cosi:
$-arctan(1/(x+sqrt(x)))~(1/(x+sqrt(x)) $, ed inoltre $arctan (1/x)~(1/x) $ e sostituendo ancora avremo:
$lim_(x->infty)(x^2)×(-1/(x+sqrt(x))+1/x)/(sqrt(x)×sqrt(2)$
$=lim_(x->infty)(x^2)×(-x+x+sqrt(x))/(sqrt(2)×sqrt(x)×x×(x+sqrt(x)))$
$=lim_(x->infty)x^2×sqrt (x)/(sqrt (2)×x^2×sqrt (x))=1/(sqrt (2))=(sqrt (2))/2$, in alternativa si può usare hopital calcolando il limite del rapporto delle derivate.
Il risultato e' giusto, ho controllato con wolfram, credo anche il procedimento, comunque in ogni caso spero di esserti stato di aiuto.
Saluti!
$arctan (t)+arctan (1/t)=(pi)/2$;
A questo punto aggiungo e tolgo a numeratore la quantità $(pi)/2$, pertanto avro':
$lim_(x->infty)(x^2)×(arctan(x+sqrt(x))-(pi)/2+(pi)/2-arctan (x))/(sqrt (2x) $,
ma $arctan (x+sqrt (x))-(pi)/2=-arctan (1/(x+sqrt(x))$,
ed, $(pi/2)-arctan(x)=arctan (1/x) $,
sostituendo avremo:
$lim_(x->infty)(x^2)×(arctan (1/(x+sqrt(x))+arctan(x))/(sqrt (2x))$
adesso essendo che negli argomenti ho quantità che tendono a $0$ per $x->infty$, posso usare gli asintotici avendo cosi:
$-arctan(1/(x+sqrt(x)))~(1/(x+sqrt(x)) $, ed inoltre $arctan (1/x)~(1/x) $ e sostituendo ancora avremo:
$lim_(x->infty)(x^2)×(-1/(x+sqrt(x))+1/x)/(sqrt(x)×sqrt(2)$
$=lim_(x->infty)(x^2)×(-x+x+sqrt(x))/(sqrt(2)×sqrt(x)×x×(x+sqrt(x)))$
$=lim_(x->infty)x^2×sqrt (x)/(sqrt (2)×x^2×sqrt (x))=1/(sqrt (2))=(sqrt (2))/2$, in alternativa si può usare hopital calcolando il limite del rapporto delle derivate.
Il risultato e' giusto, ho controllato con wolfram, credo anche il procedimento, comunque in ogni caso spero di esserti stato di aiuto.
Saluti!
Grazie mille.... Se devo essere sincera non conoscevo questa proprietà dell'arcotangente, da dove deriva?
La proprietà è possibile ricavarla da considerazioni di natura geometrica, sul cerchio trigonometrico, su Wikipedia e' riportata la dimostrazione, comunque in generale ed in ogni caso ,gli strumenti più efficaci per la risoluzione dei limiti, restano Hopital, e gli sviluppi in serie di taylor.
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