Limite

[roberto.biccario]

Sono alle prese con un limite simile ad uno postato qualche giorno fa, ma non riesco a risolverlo..
$ lim_(x->0) (sqrt(x^4+2|x|)-x^2)/(x^3+2 arcsin|x|) $

come prima cosa ho diviso il limite in due al variare di $x->0+ $ o $x->0-$
Inizio risolvendo il limite per $x->0+$

$ lim_(x->0+) (sqrt(x^4+2|x|)-x^2)/(x^3+2 arcsin|x|) = (sqrt(x^4+2x)-x^2)/(x^3+2 arcsin x) $

poi ho moltiplicato e diviso per $(sqrt(x^4+2x) +x^2) $ ottenendo al numeratore una differenza di quadrati:

$ lim_(x->0+) ((x^4+2x-x^2)/(x^3+2 arcsinx)(sqrt(x^4+2x) +x^2)) $

come procedo?

[francicko]

$lim_(x->0^+) (root (2)(x^4+2x)-x^2)/(x^3+2arcsinx)=lim(root (2)(2x)-x^2)/(x^3+2x)=lim (root (2)(2x))/(2x)=infty $
, $arcsinx~x $, inoltre come puoi notare nei passaggi precedenti all'ultimo, avendo delle somme sia a numeratore che a denominatore, non ho fatto altro che trascurare i termini infinitesimi di ordine superiore, cioe quelli che vanno a $0$ piu velocemente, in ultimo ottengo il rapporto
$(root (2)(2x))/(2x)$, il cui limite e $infty$, in quanto il termine a denominatore va a $0$ piu velocemente della radice presente a numeratore, cioe batte la radice, pertanto il limite va ad $infty $.
Per $x >0$, si ha $2|-x|=2x $, $arcsin|-x|=arcsinx$, pertanto il limite va a $infty $ anche per $x->0^-$

[roberto.biccario]

"francicko":
Per $ x >0 $, si ha $ 2|-x|=2x $, $ arcsin|-x|=arcsinx $, pertanto il limite va a $ infty $ anche per $ x->0^- $

qui intendevi dire per $x<0$ ?

cmq sono abbastanza sicuro che per $x->0^-$ il segno va cambiato fuori il valore assoluto, ovvero $2|x|$ diventa $-2x$

[@melia]

Personalmente non avrei distinto due casi, ma avrei lasciato il valore assoluto, con i passaggio di francicko l'esercizio sarebbe diventato

$ lim_(x->0) (sqrt(x^4+2|x|)-x^2)/(x^3+2 arcsin|x|) = lim_(x->0) (sqrt(2|x|))/(2|x|) = +oo$