Limite
Salve..
qualcuno saprebbe spiegarmi perchè il $lim x->0 senx*sen(1/x)=0$ ?
Io so che per x che tende a zero senx è asint. equivalente a x
quindi ho $lim x*sen(1/x)$ e poi come procedo?
qualcuno saprebbe spiegarmi perchè il $lim x->0 senx*sen(1/x)=0$ ?
Io so che per x che tende a zero senx è asint. equivalente a x
quindi ho $lim x*sen(1/x)$ e poi come procedo?
Risposte
Hai $x$ che tende a $0$ moltiplicato per una quantità, $\sin(\frac{1}{x})$, che sarà certamente limitata (infatti il seno oscilla tra $-1$ e $1$.
Dunque, per qualunque valore assuma $\sin(\frac{1}{x})$ la $x$ sarà talmente piccola da portare il prodotto a $0$.
Dunque, per qualunque valore assuma $\sin(\frac{1}{x})$ la $x$ sarà talmente piccola da portare il prodotto a $0$.
Non c'è un procedimento più pratico e meno teorico per dimostrarlo?
Più pratico di così! 
Ho scritto cose che in facoltà non direi mai pena la scomunica... Ho semplificato un concetto da scuola superiore: qualsiasi numero moltiplicato per $0$ fa $0$.
Ho scritto cose che in facoltà non direi mai pena la scomunica... Ho semplificato un concetto da scuola superiore: qualsiasi numero moltiplicato per $0$ fa $0$.
capito,grazie 
Allora vedo di spiegartelo evitando cose lunghe.
Per dimostrarlo bisogna "tornare indietro" ai limiti di successioni.
Prendiamo come esempio i seguenti 2 limiti:
$ lim_(n->+oo) sin (npi ) $
$ lim_(n->+oo) sin(pi/2+npi) $
Il primo limite è sempre uguale a zero qualunque sia $n$, poiché seno di multipli di $pi$.
Il secondo limite invece oscilla sempre tra $[-1;1]$, poiché seno di multipli di $pi/2$.
Abbiamo trovato dunque due successioni per le quali il seguente limite generalizzato
$ lim_(n->+oo) sin(n) $
può assumere ben tre valori diversi, ossia $ -1; 0; 1$.
Tutto questo va contro la tesi del teorema dell'unicità del limite, che afferma che se una successione ammette limite $l$, allora questo è UNICO.
Tale teorema, come ben sai, si estende anche per le funzioni.
Inoltre devi avere ben chiaro il concetto in cui da limiti di successioni passiamo a quelli di funzioni.
Per dimostrarlo bisogna "tornare indietro" ai limiti di successioni.
Prendiamo come esempio i seguenti 2 limiti:
$ lim_(n->+oo) sin (npi ) $
$ lim_(n->+oo) sin(pi/2+npi) $
Il primo limite è sempre uguale a zero qualunque sia $n$, poiché seno di multipli di $pi$.
Il secondo limite invece oscilla sempre tra $[-1;1]$, poiché seno di multipli di $pi/2$.
Abbiamo trovato dunque due successioni per le quali il seguente limite generalizzato
$ lim_(n->+oo) sin(n) $
può assumere ben tre valori diversi, ossia $ -1; 0; 1$.
Tutto questo va contro la tesi del teorema dell'unicità del limite, che afferma che se una successione ammette limite $l$, allora questo è UNICO.
Tale teorema, come ben sai, si estende anche per le funzioni.
Inoltre devi avere ben chiaro il concetto in cui da limiti di successioni passiamo a quelli di funzioni.
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