Limite

[stranamentemate]

determinare al variare di \(\displaystyle \alpha > 0 \) , il limite per x che tende a 0+ della funzione:

$\frac{(tanx)^\alpha}{e^x sinx - x(1+x)}$

\(\displaystyle
tanx \sim x \)
\(\displaystyle sinx \sim x
\)
$e^x=1$

quindi:

\(\displaystyle \frac{x^\alpha}{x-x+x^2}=\frac{x^\alpha}{x^2} \)



per \(\displaystyle \alpha = 1 \) \(\displaystyle lim = \infty \)
per \(\displaystyle \alpha = 2 \) \(\displaystyle lim = 1 \)
per \(\displaystyle \alpha > 2 \) \(\displaystyle lim = 0 \)

giusto?

[Palliit]

Secondo me, no.
Intanto a denominatore hai: $-x(1+x)=-x-x^2$ e non $-x+x^2$ come hai scritto; poi la presenza del termine $-x^2$ obbliga ad "allungare" lo sviluppo di $e^x*sinx$ almeno ai termini di secondo ordine. Fatta la qual cosa, ci si accorge, se non vedo male, che neanche questi bastano perché arrestando lo sviluppo all'ordine 2 il denominatore risulterebbe identicamente nullo (il che significa che è infinitesimo di ordine più alto). Quindi secondo me bisogna sviluppare il denominatore fino al terzo ordine, e a quel punto si può discutere il limite. Salvo errori miei.

[stranamentemate]

grazie

"Palliit":la presenza del termine $-x^2$ obbliga ad "allungare" lo sviluppo di $e^x*sinx$ almeno ai termini di secondo ordine..

non mi è chiaro perchè bisogna procedere in questo modo

[Palliit]

Non sarebbe necessario se non si eliminassero tutti i termini di primo grado.