Limite
Ciao, stavo provando a svolgere questo esercizio:
Si consideri la funzione f de finita da $f(x) = arctg(|x|/(x+2))-1$
(1) Determinarne dominio e limiti agli estremi del dominio.
(2) Trovare gli intervalli di monotonia di f e gli eventuali punti di massimo o minimo (relativo/assoluto).
(3) Tracciare un grafi co qualitativo di f.
(1)
Il dominio è $(-\infty, -2) uu (-2, +\infty)$ siccome $x+2!=0 -> x!=-2$
Devo calcolare quindi i limiti:
Si consideri la funzione f de finita da $f(x) = arctg(|x|/(x+2))-1$
(1) Determinarne dominio e limiti agli estremi del dominio.
(2) Trovare gli intervalli di monotonia di f e gli eventuali punti di massimo o minimo (relativo/assoluto).
(3) Tracciare un grafi co qualitativo di f.
(1)
Il dominio è $(-\infty, -2) uu (-2, +\infty)$ siccome $x+2!=0 -> x!=-2$
Devo calcolare quindi i limiti:
$\lim_{n \to -\infty} arctg(|x|/(x+2))-1$
[/list:u:2jhc6n5u]
$\lim_{n \to +\infty} arctg(|x|/(x+2))-1$
[/list:u:2jhc6n5u]
$\lim_{n \to (-2)^+} arctg(|x|/(x+2))-1$
[/list:u:2jhc6n5u]
$\lim_{n \to (-2)^-} arctg(|x|/(x+2))-1$
[/list:u:2jhc6n5u]
Bene, come faccio? Devo togliere il modulo, giusto?
Per farlo faccio in questo modo:
$\{(arctg(x/(x+2))-1, if x >= 0),(-arctg(x/(x+2))-1, if x<0):}$
E ora? A "ragionamento" direi che, volendo svolgere il primo limite elencato, devo svolgere il limite per la seconda equazione $\lim_{n \to -\infty}(-arctg(x/(x+2))-1)$ siccome $x < 0$.
Mentre se volessi risolvere $\lim_{n \to +\infty} arctg(|x|/(x+2))-1$ devo considerare $\lim_{n \to +\infty} arctg(x/(x+2))-1$.
Invece per $\lim_{n \to (-2)^+} arctg(|x|/(x+2))-1$ e $\lim_{n \to (-2)^-} arctg(|x|/(x+2))-1$?
Però non so.. E' corretta come idea?
Grazie
Risposte
Sì, il ragionamento va bene.
L'argomento dell'arcotangente per $x->\infty$ si comporta come $x/x=1$.
I primi due limiti valgono quindi:
$ \lim_{x \to -\infty}\arctan(|x|/(x+2))-1=-\arctan(1)-1=-pi/4-1$
$ \lim_{x \to +\infty}\arctan(|x|/(x+2))-1=\arctan(1)-1=pi/4-1$
Per quanto riguarda $x->-2^(+-)$, invece, noti che il numeratore assume sempre un valore positivo e il denominatore tende una volta a $0^+$ e una volta a $0^-$. Pertanto è come se stessi valutando i limiti $\lim_{y \to+\infty}\arctan(y)$ e $\lim_{y \to-\infty}\arctan(y)$.
Ciò detto:
$ \lim_{x \to -2^+} \arctan(|x|/(x+2))-1=pi/2-1$
$ \lim_{x \to -2^-} \arctan(|x|/(x+2))-1=-pi/2-1$.
L'argomento dell'arcotangente per $x->\infty$ si comporta come $x/x=1$.
I primi due limiti valgono quindi:
$ \lim_{x \to -\infty}\arctan(|x|/(x+2))-1=-\arctan(1)-1=-pi/4-1$
$ \lim_{x \to +\infty}\arctan(|x|/(x+2))-1=\arctan(1)-1=pi/4-1$
Per quanto riguarda $x->-2^(+-)$, invece, noti che il numeratore assume sempre un valore positivo e il denominatore tende una volta a $0^+$ e una volta a $0^-$. Pertanto è come se stessi valutando i limiti $\lim_{y \to+\infty}\arctan(y)$ e $\lim_{y \to-\infty}\arctan(y)$.
Ciò detto:
$ \lim_{x \to -2^+} \arctan(|x|/(x+2))-1=pi/2-1$
$ \lim_{x \to -2^-} \arctan(|x|/(x+2))-1=-pi/2-1$.
"dott.ing":
L'argomento dell'arcotangente per $x->\infty$ si comporta come $x/x=1$.
Perchè $x/x$? Non dovrebbe essere $\infty/\infty$?
"stefano86":
[quote="dott.ing"]
L'argomento dell'arcotangente per $x->\infty$ si comporta come $x/x=1$.
Perchè $x/x$? Non dovrebbe essere $\infty/\infty$?
[/quote]Perché
$lim_(x->+oo) |x|/(x+2)=x/(x+2)$ \(\displaystyle \sim \) $x/x=1$
Ah giusto! Grazie 
"dott.ing":
Pertanto è come se stessi valutando i limiti $\lim_{y \to+\infty}\arctan(y)$ e $\lim_{y \to-\infty}\arctan(y)$.
Mmm rileggendo con calma non ho capito nemmeno questa affermazione
Come hai detto tu, sostituendo $-2^+$ all'argomento dell'arcotangente ottengo $2/0^+$ mentre sostituendo $-2^-$ all'argomento dell'arcotangente ottengo $2/0^-$. E fin qui ok.
Ora, non dovrei calcolare $\lim_{x \to -2^+}\arctan(+\infty) - 1$ e $\lim_{x \to -2^-}\arctan(-\infty) - 1$?
O sto sbagliando completamente?
Perchè con questi due limiti $\lim_{y \to+\infty}\arctan(y)$ e $\lim_{y \to-\infty}\arctan(y)$ si è cambiata la variabile?
Grazie
"stefano86":
Ora, non dovrei calcolare $\lim_{x \to -2^+}\arctan(+\infty) - 1$ e $\lim_{x \to -2^-}\arctan(-\infty) - 1$?
Questa scrittura è terribile, ma rende l'idea. Ovviamente l'argomento tende a infinito per $x \to -2$ ed è in sostanza quello che intendevo con le scritture $\lim_{y \to+\infty}\arctan(y) $ e $ \lim_{y \to-\infty}\arctan(y) $.
"stefano86":
E poi questi due limiti $ \lim_{y \to+\infty}\arctan(y) $ e $ \lim_{y \to-\infty}\arctan(y) $ non dovrebbero dare rispettivamente come risultato $ +\infty $ e $ -\infty $?
Da dove è uscito il $ \pi/2 $?
Come è fatta l'arcotangente? È monotona crescente con immagine l'intervallo $I=(-pi/2,pi/2)$. Fai un disegno...
"dott.ing":
Come è fatta l'arcotangente? È monotona crescente con immagine l'intervallo $I=(-pi/2,pi/2)$. Fai un disegno...
Fatto, mi sono reso conto della cavolata che ho scritto e ho "aggiornato" il post sopra.
In ogni caso.. Devo quindi calcolare i limiti (mi dispiace se la scrittura è pessima ma mi piacerebbe capire come funziona
):$ \lim_{x \to -2^+}\arctan(+\infty) - 1 $ e $ \lim_{x \to -2^-}\arctan(-\infty) - 1 $.
Guardando appunto il grafico non ottengo $\pi/2$ per $x->-2^+$ e $x->-2^-$. Ottengo $\pi/2$ per $x->+\infty$ o $x->-\infty$... O no?
"stefano86":
Guardando appunto il grafico non ottengo $\pi/2$ per $x->-2^+$ e $x->-2^-$. Ottengo $\pi/2$ per $x->+\infty$ o $x->-\infty$... O no?
Certo, ma tu non stai valutando $ \lim_{x \to -2}\arctan(x)$ bensì $ \lim_{x \to -2}\arctan(|x|/(x+2))$. E l'argomento del secondo limite tende a $+-\infty$ per $x->-2^(+-)$.
Quando ho scritto $ \lim_{y \to \infty}\arctan(y)$ (che in effetti è un cambio di variabile) intendevo sostituire l'argomento con un altro più semplice che tendesse anch'esso a infinito. Voleva essere una scorciatoia mentale per vedere meglio il conto ma se questo ti ha confuso ulteriormente lascia perdere.
È sufficiente che ti sia chiaro il passaggio che ho scritto sopra. Lo è?
Ok, ora è davvero tutto chiaro. Grazie mille!
Per quanto riguarda invece il punto (2), devo trovare la derivata prima di $f(x)$.
Per fare ciò posso sempre "spezzare" la derivata prima in due in base al sistema $\{(arctg(x/(x+2))-1, if x >= 0),(-arctg(x/(x+2))-1, if x<0):}$ e quindi ottenere due derivate oppure devo calcolarne una generica usando la formula $d/dx |f(x)| = (|f(x)|)/(f(x))f'(x)$?
Per fare ciò posso sempre "spezzare" la derivata prima in due in base al sistema $\{(arctg(x/(x+2))-1, if x >= 0),(-arctg(x/(x+2))-1, if x<0):}$ e quindi ottenere due derivate oppure devo calcolarne una generica usando la formula $d/dx |f(x)| = (|f(x)|)/(f(x))f'(x)$?
Vanno bene entrambe le strade.
Il risultato è chiaramente lo stesso, non è detto però che sia uguale anche la difficoltà computazionale.
Il risultato è chiaramente lo stesso, non è detto però che sia uguale anche la difficoltà computazionale.
Grazie, penso che la spezzerò allora. Mi sembra più semplice..
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