Limite
$ lim_(x -> +-oo) |x|log((x^2+x+1)/(x^2+2))=1 $Il limite corretto tende ad 1. Non riesco a capire perchè.. il mio procedimento è il seguente.. il log ha argomento che tende ad 1 di conseguenza il log1 è uguale a 0.. verrebbe 0*|oo| ma questa anche se apparentemente potrebbe sempre una forma indeterminata perchè la x tende a oo piu di quanto il log tende ad 0 ... di conseguenza io scriverei che il limite è +oo
Risposte
Attento: i logaritmi nei limiti son delle gran brutte bestie!
Vedilo come:
che avendo forma indeterminata $0/0$ ti permette di impiegare...
EDIT: Inoltre, dato che lo calcoli per $x->+oo$, il valore assoluto puoi toglierlo senza problemi.
Vedilo come:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left| x \right| \cdot \ln \left( {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} + 2}}} \right) = \frac{{\ln \left( {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} + 2}}} \right)}}{{\frac{1}{{\left| x \right|}}}}\]
che avendo forma indeterminata $0/0$ ti permette di impiegare...
EDIT: Inoltre, dato che lo calcoli per $x->+oo$, il valore assoluto puoi toglierlo senza problemi.
Ti ringrazio Brancaleone... ma io volevo capire in cosa il mio ragionamento è infondato.. Qualcuno che contesta il mio procedimento? Voglio capire dove sbaglio!
Secondo me il punto e' che
$ ln((x^2+x+1)/(x^2+2))~ 1/x $ per $ xrarr+oo $, come puoi vedere sviluppando in serie di Taylor, cioe' va a 0 come dici tu, ma con la stessa rapidita' di x.
$ ln((x^2+x+1)/(x^2+2))~ 1/x $ per $ xrarr+oo $, come puoi vedere sviluppando in serie di Taylor, cioe' va a 0 come dici tu, ma con la stessa rapidita' di x.
Lo sbaglio sta in questo passaggio:
Non è vero che la $x$ tende a $+oo$ più velocemente di quanto questo logaritmo tende a $0$, perché entrambi tendono al loro rispettivo valore con ordine 1 - e la prova sta appunto in questo procedimento.
EDIT:
Non si può usare Taylor quando il limite tende a $pm oo$
"Zumbo":
verrebbe 0*|oo| ma questa anche se apparentemente potrebbe sempre una forma indeterminata perchè la x tende a oo piu di quanto il log tende ad 0 ... di conseguenza io scriverei che il limite è +oo
Non è vero che la $x$ tende a $+oo$ più velocemente di quanto questo logaritmo tende a $0$, perché entrambi tendono al loro rispettivo valore con ordine 1 - e la prova sta appunto in questo procedimento.
EDIT:
"ostrogoto":
come puoi vedere sviluppando in serie di Taylor
Non si può usare Taylor quando il limite tende a $pm oo$
Si puo' fare previo opportuno raccoglimento di x^2 sopra e sotto e sua semplificazione:
$ log ((x^2+x+1)/(x^2+2))=log (1+1/x+1/x^2)-log(1+2/x^2)=1/x-2/x^2 + etc $
perche' $ 1/x+1/x^2rarr0 $ per $ xrarr+oo $ et idem per $ 2/x^2 $
$ log ((x^2+x+1)/(x^2+2))=log (1+1/x+1/x^2)-log(1+2/x^2)=1/x-2/x^2 + etc $
perche' $ 1/x+1/x^2rarr0 $ per $ xrarr+oo $ et idem per $ 2/x^2 $
Non capisco questo passaggio:
"ostrogoto":
$log (1+1/x+1/x^2)-log(1+2/x^2)=1/x-2/x^2 + etc $
Lo sviluppo in serie di Taylor al secondo ordine del logaritmo e':
$ ln(1+y)=y-1/2y^2+o(x^2) $ per $ yrarr0 $
quindi in questo caso si ha:
$ log(1+1/x+1/x^2)=1/x+1/x^2-1/2(1/x+1/x^2)^2+...=1/x-1/(2x^2)+o(1/x^2) $ per $ xrarr+oo$
$ log(1+2/x^2)=2/x^2+o(1/x^2) $
et
$ log(1+1/x+1/x^2)-log(1+2/x^2)=1/x-3/(2x^2)+o(1/x^2) $ (1)
Per il limite in questione e' sufficiente considerare il primo termine dello sviluppo in (1). Cosi' si capisce che il questo termine viaggia come $ 1/x $ .
Quando ho scritto lo sviluppo nel messaggio precedente, ho indicato solo il primo termine in entambi gli sviluppi dei 2 ln, senza indicare il termine $ 1/x^2 $ nel primo in quanto in tutta l'espressione prevaleva il termine $ 1/x $
Ok, per correttezza avrei dovuto scrivere la (1), you are right...
$ ln(1+y)=y-1/2y^2+o(x^2) $ per $ yrarr0 $
quindi in questo caso si ha:
$ log(1+1/x+1/x^2)=1/x+1/x^2-1/2(1/x+1/x^2)^2+...=1/x-1/(2x^2)+o(1/x^2) $ per $ xrarr+oo$
$ log(1+2/x^2)=2/x^2+o(1/x^2) $
et
$ log(1+1/x+1/x^2)-log(1+2/x^2)=1/x-3/(2x^2)+o(1/x^2) $ (1)
Per il limite in questione e' sufficiente considerare il primo termine dello sviluppo in (1). Cosi' si capisce che il questo termine viaggia come $ 1/x $ .
Quando ho scritto lo sviluppo nel messaggio precedente, ho indicato solo il primo termine in entambi gli sviluppi dei 2 ln, senza indicare il termine $ 1/x^2 $ nel primo in quanto in tutta l'espressione prevaleva il termine $ 1/x $
Ok, per correttezza avrei dovuto scrivere la (1), you are right...
Ah ok, grazie per il chiarimento
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