Limite
Quanto fa questo limite?
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x}\right)^{\pi} \)
Più generalmente, dato il limite
\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} [f(x)]^{\alpha}, \; \alpha \in \mathbb{R}\)
Il seguente passaggio
\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} [f(x)]^{\alpha}=\left[\lim_{x \to x_0} f(x)\right]^{\alpha}\)
Può effettuarsi solo se sono soddisfatte determinate condizioni per $f$?
Il passaggio si può fare certamente se $f(x)$ è continua, mi chiedevo se esistono altri casi.
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x}\right)^{\pi} \)
Più generalmente, dato il limite
\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} [f(x)]^{\alpha}, \; \alpha \in \mathbb{R}\)
Il seguente passaggio
\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} [f(x)]^{\alpha}=\left[\lim_{x \to x_0} f(x)\right]^{\alpha}\)
Può effettuarsi solo se sono soddisfatte determinate condizioni per $f$?
Il passaggio si può fare certamente se $f(x)$ è continua, mi chiedevo se esistono altri casi.
Risposte
"CaMpIoN":
Quanto fa questo limite?
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x}\right)^{\pi} \)
Non esiste
Da cosa lo deduci?
Comunque nel caso generale come si procede?
Comunque nel caso generale come si procede?
Dal fatto che i limiti destro e sinistro in $x_0=0$ sono diversi:
$lim_(x->0^-)x^-pi=-oo$
$lim_(x->0^+)x^-pi=+oo$
Ma il dominio di quella funzione è $(0,+oo)$. Non ha senso fare il limite per $x -> 0^-$
In questo caso si ha $lim_{x->0} f(x)= lim_{x->0^+ }f(x)$
In questo caso si ha $lim_{x->0} f(x)= lim_{x->0^+ }f(x)$
quel limite, o lo scrivi cosi
\[\lim_{x\to0^+}\left(\frac{1}{x}\right)^{\pi},\]
oppure cosi
\[\lim_{x\to0 }\left(\frac{1}{|x|}\right)^{\pi},\]
per ovvie ragioni relative ai numeri reali elevati a potenza reale ....
\[\lim_{x\to0^+}\left(\frac{1}{x}\right)^{\pi},\]
oppure cosi
\[\lim_{x\to0 }\left(\frac{1}{|x|}\right)^{\pi},\]
per ovvie ragioni relative ai numeri reali elevati a potenza reale ....
"Gi8":
Ma il dominio di quella funzione è $(0,+oo)$. Non ha senso fare il limite per $x -> 0^-$
Mi sono perso...
perché il dominio non è $RR \\ {0}$ ?
non puoi elevare a potenza reale un numero negativo.
Già. Ad esempio, quanto fa $-1^pi$?
edit (ore 19.04): come ha fatto notare @melia (che ringrazio), mancano le parentesi. Intendevo:
quanto fa $(-1)^pi$? non si può fare
edit (ore 19.04): come ha fatto notare @melia (che ringrazio), mancano le parentesi. Intendevo:
quanto fa $(-1)^pi$? non si può fare
"Gi8":
Già. Ad esempio, quanto fa $-1^pi$?
Bhè, $-1^pi= -1$, mentre è $(-1)^pi$ che non si può fare.
In realtà il primo limite è un caso di quello sotto, il quale mi interessava più il suo metodo risolutivo..
Ringrazio tutti per l'aiuto.
Ringrazio tutti per l'aiuto.
"Noisemaker":
non puoi elevare a potenza reale un numero negativo.
Non lo sapevo!
Beh meglio tardi che mai...
"Brancaleone":
[quote="Noisemaker"]non puoi elevare a potenza reale un numero negativo.
Non lo sapevo!
Beh meglio tardi che mai...
[/quote]ma no lo sapevi di sicuro! è na delle prime cose che si tovano nei cors Analisi 1... e che forse è affrontata con troppa disinvoltura!
Pensa che io lo sapevo e non l'ho presa proprio in considerazione questa cosa xD
Comunque come si risolve il generico caso sotto?
Comunque come si risolve il generico caso sotto?
Credo di aver risolto, praticamente l'uguaglianza è valida per ogni funzione sempre positiva, cioè data $f: D \to \mathbb{R}, D \subseteq \mathbb{R}$, con $f(x)\geq 0, \forall x \in D$, si ha
\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)^{\alpha}=\left(\lim_{x \to x_0} f(x)\right)^{\alpha}, \forall \alpha \in \mathbb{R} \)
Infatti
\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)^{\alpha}=\lim_{x \to x_0} \mathit{e}^{\alpha \ln f(x)} \)
Per la continuità delle funzioni $e^x$ e $\ln x$ posso scrivere
\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} \mathit{e}^{\alpha \ln f(x)}=\mathit{e}^{\lim_{x \to x_0} \alpha \ln f(x)}=\mathit{e}^{\alpha \lim_{x \to x_0} \ln f(x)}=\mathit{e}^{\alpha \ln \lim_{x \to x_0} f(x)}=\mathit{e}^{\ln \left(\lim_{x \to x_0} f(x)\right)^{\alpha}}=\left(\lim_{x \to x_0} f(x)\right)^{\alpha}\)
Quindi
\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)^{\alpha}=\left(\lim_{x \to x_0} f(x)\right)^{\alpha} \)
Inoltre per la permanenza del segno è garantito che
\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)=l>0 \)
Secondo voi i passaggi sono esatti?
\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)^{\alpha}=\left(\lim_{x \to x_0} f(x)\right)^{\alpha}, \forall \alpha \in \mathbb{R} \)
Infatti
\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)^{\alpha}=\lim_{x \to x_0} \mathit{e}^{\alpha \ln f(x)} \)
Per la continuità delle funzioni $e^x$ e $\ln x$ posso scrivere
\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} \mathit{e}^{\alpha \ln f(x)}=\mathit{e}^{\lim_{x \to x_0} \alpha \ln f(x)}=\mathit{e}^{\alpha \lim_{x \to x_0} \ln f(x)}=\mathit{e}^{\alpha \ln \lim_{x \to x_0} f(x)}=\mathit{e}^{\ln \left(\lim_{x \to x_0} f(x)\right)^{\alpha}}=\left(\lim_{x \to x_0} f(x)\right)^{\alpha}\)
Quindi
\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)^{\alpha}=\left(\lim_{x \to x_0} f(x)\right)^{\alpha} \)
Inoltre per la permanenza del segno è garantito che
\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)=l>0 \)
Secondo voi i passaggi sono esatti?
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