Limite

[Gianni911]

Ciao a tutti ,come posso risolvere questo limite??
$ lim_(x -> 0) (sinx/x)^(1/x^2) $
ho provato con
$ lim_(x -> 0) e^((1/(x^2)ln((sinx)/x)) $ ,ma non sono sicuro vada bene ..
Grazie

[21zuclo]

io direi che va bene l'hai portato in questa forma $ \exp((1)/(x^2)\ln((\sin x)/(x))) $

ora dentro al logartimo per ridurlo nella forma $ \ln(1+...) $ e dove ci sono i puntini ci va qualcosa di infinitesimo..

usa lo sviluppo del $ \sin x $ che è come ben saprai $ \sin x=x-(x^3)/(3)+o(x^3) $ per $x\to 0$

e poi continui..

[Gianni911]

$ e^((1/x^2 ln(1-x^2/6)) $

"21zuclo":

usa lo sviluppo del $ \sin x $ che è come ben saprai $ \sin x=x-(x^3)/(3)+o(x^3) $ per $x\to 0$

e poi continui..

$ \sin x=x-(x^3)/(3!)+o(x^3) $

ho provato anche in quel modo,ma non so bene come uscirne

$ exp(1/x^2 ln((x-x^3/6)/x)) = exp(1/x^2 ln(1-x^2/6)) = $

[Obidream]

Beh hai praticamente finito, solo una cosa... Devi metterci gli o-piccolo perché altrimenti non si capisce come tu sia passato a quella forma:

$lim_(x->0) e^(1/x^2*log(1-x^2/6+o(x^2))$

Adesso ti basta uno sviluppo al primo ordine del logaritmo, è lecito perché in fondo sei nella forma: $log(1+t)$ con $t->0$.

[Gianni911]

$ log(1+x)=x−12x2+13x3−14x4+15x5+o(x5) $
$ lim_(x->0) e^(1/x^2*log(1-x^2/6+o(x^2)) $
$lim_(x->0) e^(1/x^2*-x^2/6)$ = $1/(e^(1/6))$
grazie