Limite

[_luca94_1]

Salve,
potreste risolvermi questo limite:
$\lim_{x \to +\infty}2^(1/x^2)/sin(1/x)cos(x)$

Qualsiasi cosa io applichi, esce sempre $0*\infty$
Grazie

[Zero87]

A me non viene una forma $0 \cdot \infty$, ma che il limite non esiste.

[_luca94_1]

"Zero87":A me non viene una forma $0 \cdot \infty$, ma che il limite non esiste.

Cosa hai applicato?

[Zero87]

"_luca94_":Cosa hai applicato?

Osservazioni, diciamo, pasta e fagioli, di quelle che si fanno alle superiori.

Per $x-> +\infty$
- $2^(1/x^2) -> 2^0=1$ e non dà problemi particolari
- $sin(1/x) -> sin (0^+) -> 0^+$ e sta al denominatore, quindi attenzione
- $cos(x) -> "niente"$, il limite non esiste poiché è una quantità oscillante tra $[-1,1]$... però è finita.

Il tutto
$-> \frac{1}{0^+} \cdot "quantità oscillante" ->$ non esiste perché il $+\infty$ a cui tende la frazione se la deve vedere con i continui cambi di segno del coseno che, seppur limitato, oscilla di continuo in $[-1,1]$.

Riprendendo, però, l'affermazione di ciampax - che saluto -, in questo thread
viewtopic.php?p=817525#p817525

Ho anche controllato con wolfram e il risultato è stato
- limite finito (senza dire quanto) inserendo questo limite (dopo che m'ha detto "prova con più tempo")
- limite che non esiste, sostituendo $t->1/x$ (ricordo che $t-> 0^+$).

Ergo, 2 risultati differenti semplicemente applicando una sostituzione che non dovrebbe dare problemi: nel secondo dà ragione a me, nel primo va in palla e se la cava con un $<\infty$.

[ciampax]

A me pare proprio che il limite non esista, come diceva Zero nel primo intervento.

[_luca94_1]

"ciampax":A me pare proprio che il limite non esista, come diceva Zero nel primo intervento.

Visto che devo fare l' esame di analisi tra 4giorni, mi servirebbe sapere come dovrei dimostrare, con rigore, che il limite non esiste.
Mi basta dire che $1/0^+=+\infty$ e che il limite di $cos(x)$ non esiste per esistono due successiono per cui i limiti sono diversi?

[Plepp]

Per dimostrare che il limite non esiste puoi cercare due successioni, diciamo $(a_n)_{n\ge 1}$ e $(b_n)_{n\ge 1}$, che divergono positivamente e tali che le successioni delle immagini, $(f(a_n))_{n\ge 1}$ e $(f(b_n))_{n\ge 1}$, abbiano due limiti diversi.

Per esempio, puoi prendere $a_n:=2\pi n$ e $b_n:=\pi+2\pi n$. Hai che $f(a_n)\to +\infty$ e $f(b_n)\to -\infty$

[_luca94_1]

"Plepp":Per dimostrare che il limite non esiste puoi cercare due successioni, diciamo $(a_n)_{n\ge 1}$ e $(b_n)_{n\ge 1}$, che divergono positivamente e tali che le successioni delle immagini, $(f(a_n))_{n\ge 1}$ e $(f(b_n))_{n\ge 1}$, abbiano due limiti diversi.

Per esempio, puoi prendere $a_n:=2\pi n$ e $b_n:=\pi+2\pi n$. Hai che $f(a_n)\to +\infty$ e $f(b_n)\to -\infty$

Perfetto grazie