Limite..

[asker993]

$ lim x->3 [(3^x - x^3)/(x-3)] $Ho un dubbio su questo limite...non capisco bene dove sbaglio...

$lim x->3 [(3^x - x^3)/(x-3)] $ sostituisco x-3 con t e ho che $lim t->0 [(e^(log(3)t)3^3-(t+3)^3)/t]$
dunque ora applico il limite notevo dell'esponenziale e ottengo:
$lim t->0 [(1+log(3)t)27-(t+3)^3)/t]$ e allora (penso di sbagliare qua ma non so bene perchè) ottengo $lim t->0 [(27log(3))] $ perchè ho mandato t a 0 e 3^3 =27. 27-27=0, semplifico t con denominatore e ottengo un risultato sbagliato...voi cosa fareste?

[Gi81]

$ \lim_(x->3) (3^x - x^3)/(x-3) $. Ponendo $t=x-3$ abbiamo $lim_{t->0} (3^(t+3)-(t+3)^3)/t$, cioè
$\lim_{t \to 0} (27*3^t-(t^3+9t^2+27t+27))/t$

[asker993]

esatto...è da quel punto che mi blocco...cioè è corretto scrivere che $3^t=e^(tlog(3))$ Allora applico il limite notevole e dovrebbe essere asintotico a $1+tlog(3)$..

[Gi81]

Bene, quindi il numeratore è asintotico a $27*(1+t*log(3)-1)-t(t^2+9t+27)$
(ho semplicemente raccolto in modo opportuno)

Quindi abbiamo $lim_{t->0}(t*[27log3-t^2-9t-27])/t$

[asker993]

grazie...ecco cosa ho sbagliato e sbaglio spesso, ho mandato t a 0 e POI semplificato col denominatore...ma se faccio questa cosa mando il denominatore a 0 e non posso piu fare semplificazione...è corretto? Cioè, devo sempificare al denominatore t prima che lo mando a 0...

[Gi81]

Sì, è corretto quello che dici

Quando prima sei arrivato a $lim_{t->0}((1+t* log3)27 -(t+3)^3)/t$, se "mandi $t$ a $0$" ottieni $0/0$, che è una forma indeterminata. Questo significa che dovrai fare altri passaggi per arrivare al risultato.

In sintesi, se mandando $t$ a $0$ non ottieni una forma indeterminata hai finito.
Altrimenti devi fare altri passaggi.

[asker993]

ok grazie