Limite

[asker993]

ragazzi, secondo voi come si calcola questo limite?
lim sqrt(x2 + 3x + 2) − |x|....ovviamente non è=0 ma 3/2..ma non capisco come ci siano arrivati...
x→+∞

[ciampax]

Se usassi il simbolo del dollaro davanti alle formule la cosa sarebbe più leggibile. Comunque, il limite è questo:
$$\lim_{x\to+\infty}\left[\sqrt{x^2+3x+2}-|x|\right]$$
che puoi scrivere anche così
$$\lim_{x\to+\infty}\left[\sqrt{x^2+3x+2}-x\right]$$
dal momento che per $x\to+\infty$ risulta $x>0$. Quello che puoi fare è "antirazionalizzare" la funzione. Ricorda che $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b$.

[Ariz93]

Per il teorema della permanenza del segno( delle successioni intendo, cioè prendi una qualsiasi successione \(\displaystyle x_n \) che tende a infinito gli elementi saranno definitivamente maggiori di zero l'unione di tutte le successioni prese in considerazione son proprio gli x ) x è definitivamente maggiore di zero,da cui :

\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2+3x+2} -|x|=\lim_{x \to \infty}\infty \sqrt{x^2+3x+2} -x \) definitiamente

ora che faresti? Devi risolverlo tu ti ho dato l'hint , ti ricordo che hai una forma indeterminata \(\displaystyle +\infty-\infty \)

[asker993]

ok mi è venuto, grazie, era la razionalizzazione che non mi era venuta in mente

[Ariz93]

"asker993":ok mi è venuto, grazie, era la razionalizzazione che non mi era venuta in mente

Ogni volta vche sei di fronte ad una forma indeterminata del tipo \(\displaystyle \infty - \infty \) ti consiglio sempre almeno di provare a razionalizzare, in questo modo puoi risolvere gran parte degli esercizi.