Limite

[InnocentLattice]

Salve a tutti! ho un problema con il calcolo di un limite per x che tende a 0 della seguente funzione:
$lim_(x->0)(|x|e^(arctg(x)))/log(1+x)$
potreste darmi una mano e indicarmi i passaggi da fare? il problema lo incontro quando vado ad applicare la regola di de l'hopital, il procedimento è abbastanza confuso e sono sicuro di commettere errori lungo il tragitto, ci sono metodi più veloci ed efficaci per risolverla?

[Newton_1372]

perchè usare De L'hopital? Dividi e moltiplica il denominatore per x e applica un famoso limite notevole!

[InnocentLattice]

Potresti farmi vedere come applicare il limite notevole? immagino che il limite di cui tu stia parlando sia
$lim_(x->0)log(1+x)/x=1/ln(a)$
che dovrei applicare al denomitore e quindi rendere la funzione da me scritta sopra in questa maniera:
$lim_(x->0) (|x|e^(arctg(x)))/((log(1+x)/x)(x))$ e come vado avanti? se sostituisco il limite notevole con il suo risultato e poi vado a sostituire le X con lo 0, non ottengo comunque una forma indeterminata?

[onlyReferee]

"InnocentLattice":Potresti farmi vedere come applicare il limite notevole? immagino che il limite di cui tu stia parlando sia
$lim_(x->0)log(1+x)/x=1/ln(a)$
che dovrei applicare al denomitore e quindi rendere la funzione da me scritta sopra in questa maniera:
$lim_(x->0) (|x|e^(arctg(x)))/((log(1+x)/x)(x))$ e come vado avanti? se sostituisco il limite notevole con il suo risultato e poi vado a sostituire le X con lo 0, non ottengo comunque una forma indeterminata?

Tieni conto che hai anche un valore assoluto e quindi, se non erro, bisogna effettuare una distinzione come segue:
\[
\lim_{x \to 0} \frac{|x| e^{\arctan(x)}}{\log(1 + x)} =
\begin{cases}
\lim_{x \to 0^+} \frac{x e^{\arctan(x)}}{\log(1 + x)} \text{se} x \geq 0\\
\lim_{x \to 0^-} \frac{-x e^{\arctan(x)}}{\log(1 + x)} \text{se} x < 0\\
\end{cases}
\]
Ora puoi applicare il suggerimento di newton_1372 ed ottenere (lo scrivo solo per il caso $x \geq 0$, quello $x < 0$ è analogo, cambia solo il segno del risultato finale):
$\lim_{x \to 0^+} \frac{x e^{\arctan(x)}}{\log(1 + x)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x e^{\arctan(x)}}{\frac{\log(1 + x)}{x} \cdot x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{e^{\arctan(x)}}{\frac{\log(1 + x)}{x}} = 1$

[InnocentLattice]

Grazie mille adesso mi è tutto molto più chiaro.

[onlyReferee]

Chiedo scusa, forse ve ne sarete accorti: avevo dimenticato un $|x|$ nel trascrivere il limite iniziale che era richiesto di calcolare (avevo però inserito tale quantità nella soluzione).