Limite

[francicko]

Salve! Navigando in rete ho trovato il seguente limite per $x->0$, $lim (xsinxcosx)/(1-(cosx)^3)$, la soluzione veniva fornita sfruttando la nota identità $(a^3-b^3)=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, avendo provato a risolverlo autonomamente ho seguito una via differente , cioè sostituendo in sostanza degli infinitesimi dello stesso ordine, $lim (xsinxcosx)/(1-(cosx)^3)$ $=lim (x^2cosx)/(1-cosx(cosx)^2)$ $=lim (x^2(1-x^2)^(1/2))/(1-(1-x^2)^(1/2)(1-x^2)$ $=lim (x^2-x^4/2)/(1-1+x^2/2+x^2-x^4/2$ $=lim x^2/((3/2)x^2)=2/3$ , qualcuno può cofermarmi se il procedimento da me seguito è corretto?
Grazie!

[valerio cavolaccio]

è giusto ma $lim_{x\rightarrow 0}cos(x)\simq (1-x^{2}/2)$

[francicko]

Scusa, ma non ho ben capito l'osservazione, prova a scriverla meglio.
Comunque grazie per la risposta!

[redlex91-votailprof]

Credo che valerio volesse scrivere:
[tex]1-\cos{x}\sim\frac{x^2}{2},\quad x\to0[/tex]
Ma francicko non ha utilizzato questa sostituzione, bensì ha usato più volte l'identità trigonometrica fondamentale e poi:
[tex]\sin{x}\sim x,\quad x\to0[/tex]

[valerio cavolaccio]

Ah giusto! Non ci avevo fatto caso

[francicko]

x@friction.
Esatto, proprio così.
Sto cercando di prendere una certa familiarità con i limiti, e le vostre risposte mi sono molto d'aiuto;
Grazie ancora.