Limite

[Raffit]

Chi può aiutarmi con questo esercizio?

$ lim_(x->infty)(sin(2x)+ln(lnx))/(cos(5x)+ln(ln(x^2)))$

Non so da dove iniziare a metter mano per risolverlo.

[MasterCud]

Ho sempre odiato questi esercizi noiosi di analisi 1 mi sa che in questo caso devi fare riferimento agli sviluppi in serie di taylor, gli hai mai utilizzati per il calcolo dei limiti? però prima di tutto qui devi imporre $ x=1/t $ così il limite sarà per t che tende a 0

[Raffit]

"MasterCud":Ho sempre odiato questi esercizi noiosi di analisi 1 mi sa che in questo caso devi fare riferimento agli sviluppi in serie di taylor, gli hai mai utilizzati per il calcolo dei limiti? però prima di tutto qui devi imporre $ x=1/t $ così il limite sarà per t che tende a 0

Li odio anche io
Comunque si, ho già utilizzato gli sviluppi di taylor però in questo caso ho dei dubbi. Se io pongo $ x=1/t $ la funzione $sin2x$ ad esempio diventa $sin(2/t)$ e quando applico la formula di taylor nel punto t=0 , f(x0) mi diventa $sin(2/0)$ o sbaglio?

[Raffit]

Qualche altro consiglio?

[Sk_Anonymous]

"Raffit":Qualche altro consiglio?

Ecco un'idea veloce.. il coseno e il seno sono dei valori compresi tra \(\displaystyle -1 \) e \(\displaystyle 1 \), dunque sono piccoli rispetto ai logaritmi(che tendono ad infinito). Il logaritmo al denominatore si può semplificare facilmente: \(\displaystyle \ln(\ln(x^2)) = \ln(2 \ln x) = \ln 2 + \ln(\ln(x))\).

Quindi il limite diventa \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\ln(\ln(x))}{\ln(\ln(x))} = 1 \)

[Raffit]

"marcoumbrello":[quote="Raffit"]Qualche altro consiglio?

Ecco un'idea veloce.. il coseno e il seno sono dei valori compresi tra \(\displaystyle -1 \) e \(\displaystyle 1 \), dunque sono piccoli rispetto ai logaritmi(che tendono ad infinito). Il logaritmo al denominatore si può semplificare facilmente: \(\displaystyle \ln(\ln(x^2)) = \ln(2 \ln x) = \ln 2 + \ln(\ln(x))\).

Quindi il limite diventa \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\ln(\ln(x))}{\ln(\ln(x))} = 1 \)[/quote]

Grazie mille per la risposta Mi sorgono però due domande:
- I seno e coseno possono essere sempre "eliminati" se sommati a funzioni che tendono a infinito?
- $ln(2)$ non l'hai considerato perchè anch'esso piccolo rispetto al logaritmo che tende a infinito?

[Sk_Anonymous]

"Raffit":
Grazie mille per la risposta Mi sorgono però due domande:
- I seno e coseno possono essere sempre "eliminati" se sommati a funzioni che tendono a infinito?
- $ln(2)$ non l'hai considerato perchè anch'esso piccolo rispetto al logaritmo che tende a infinito?

Quando valuti un limite si, o meglio puoi dire che \(\displaystyle \cos(t) + \infty = (-1 \ldots 1) + \infty = \infty \), ma non puoi sempre eliminarlo quando risolvi un limite.

Io per il limite di prima ho usato questo ragionamento:
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{a + t}{b + t} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{a}{t} + 1}{\frac{b}{t} + 1}\), ora se \(\displaystyle \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{a}{t} = \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{b}{t} = 0 \) sostituisci ed ottieni \(\frac{0+1}{0+1} = 1 \).

[Raffit]

"marcoumbrello":[quote="Raffit"]
Grazie mille per la risposta Mi sorgono però due domande:
- I seno e coseno possono essere sempre "eliminati" se sommati a funzioni che tendono a infinito?
- $ln(2)$ non l'hai considerato perchè anch'esso piccolo rispetto al logaritmo che tende a infinito?

Quando valuti un limite si, o meglio puoi dire che \(\displaystyle \cos(t) + \infty = (-1 \ldots 1) + \infty = \infty \), ma non puoi sempre eliminarlo quando risolvi un limite.

Io per il limite di prima ho usato questo ragionamento:
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{a + t}{b + t} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{a}{t} + 1}{\frac{b}{t} + 1}\), ora se \(\displaystyle \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{a}{t} = \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{b}{t} = 0 \) sostituisci ed ottieni \(\frac{0+1}{0+1} = 1 \).[/quote]

Non l'avevo mai visto da questo punto di vista, grazie per l'aiuto!