Limite
salve, potete dirmi come si dimostra che il
$ lim_(x -> oo ) x/(sinx) $ non esiste???
$ lim_(x -> oo ) x/(sinx) $ non esiste???
Risposte
Secondo te perché non esiste?
perchè la funzione oscilla...infatti disegnando il grafico si vede che esso è composto da una ''parabola'' con concavità verso l'alto e una verso il basso, una verso l alto e una verso il basso...e così via..un pò come il seno di per sè. quindi ho supposto che non esiste. inoltre, l'aver fatto questo limite con derive mi porta come risultato un semplice ''?'' il che mi fa ancor più credere che effettivamente non esista. ma vorrei capire come, attraverso una dimostrazione che non sia quella del disegno, perchè non esiste..(a differenza invece del reciproco che è 0)
Il limite è infinito, perché la funzione $sin(x)$ è definita nell'intervallo [-1,1], pertanto avresti sopra infinito e sotto un intorno dell'intervallo, il che porta il risultato come infinito. Riguardo al fatto che hai detto sul reciproco della funzione puoi dire quindi che basta fare il reciproco di quel limite no? il reciproco di 0 è infondo $\infty$ no?
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sin x}=\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sin x}{x}}=\frac{1}{0}=\infty\)
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sin x}=\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sin x}{x}}=\frac{1}{0}=\infty\)
Si, questo lo so...infatti anche io credevo facesse infinito...ma poichè non è possibile determinare il segno dell'infinito io credo che non esista...e poi come spieghiamo il ''non risultato'' di Derive? cmq se il lim usciva infinito, anke derive mi avrebbe segnato infinito...e come dire che lim del seno sia 1...ma il segno di quell'1 cambia e non è possibile stabilire come sia all'infinito... o no?
Il dominio della funzione è \(x\neq2k\pi\), quindi non ha senso calcolare il limite per \(x\rightarrow\infty\)
Due modi:
1)Se una successione ha un limite allora ogni sua sottosuccessione avrà lo stesso limite.
2)Fissato un epsilon,esiste un valore di x dopo il quale la distanza dal presunto limite è minore di epsilon.
1)Se una successione ha un limite allora ogni sua sottosuccessione avrà lo stesso limite.
2)Fissato un epsilon,esiste un valore di x dopo il quale la distanza dal presunto limite è minore di epsilon.
oscillano per assumere un valore sempre più vicino allo zero se siamo nel caso di sinx/x ...ma prova a disegnare x/sinx... la funzione ok, non oscilla costantemente, ma si avvicina a valori sia di più infinito che -infinito
"Cuspide83":
Il dominio della funzione è \(x\neq2k\pi\), quindi non ha senso calcolare il limite per \(x\rightarrow\infty\)
lo so, però nel caso del lim per x-> infinito di senx/x lo si calcola!!
"Maci86":
Due modi:
1)Se una successione ha un limite allora ogni sua sottosuccessione avrà lo stesso limite.
2)Fissato un epsilon,esiste un valore di x dopo il quale la distanza dal presunto limite è minore di epsilon.
mi piacerebbe usare il primo modo... e ci avevo pensato, ma non so quali sottosuccessioni prendere! aiuto??
ps. Maci86, anche secondo te non esiste questo limite? o credi sia infinito??
Cosa succede in $pi/2 +2kpi$ e in $-pi/2 +2kpi$?!
messaggio sotto
"miry77":
[quote="Cuspide83"]Il dominio della funzione è \(x\neq2k\pi\), quindi non ha senso calcolare il limite per \(x\rightarrow\infty\)
lo so, però nel caso del lim per x-> infinito di senx/x lo si calcola!![/quote]
Infatti le due funzioni sono diverse... la tua non è definita per \(x=2k\pi\) mentre \(\frac{\sin{x}}{x}\) tranne per \(x=0\) si.
Anche se tu la tua funzione la riscrivi così
\[\frac{x}{\sin{x}}=\frac{1}{\frac{\sin{x}}{x}}\]
rimane sempre la stessa funzione non definita in quei punti scritti sopra.
"Maci86":
Cosa succede in $pi/2 +2kpi$ e in $-pi/2 +2kpi$?!
grazie
!
"miry77":
Si, questo lo so...infatti anche io credevo facesse infinito...ma poichè non è possibile determinare il segno dell'infinito io credo che non esista...e poi come spieghiamo il ''non risultato'' di Derive? cmq se il lim usciva infinito, anke derive mi avrebbe segnato infinito...e come dire che lim del seno sia 1...ma il segno di quell'1 cambia e non è possibile stabilire come sia all'infinito... o no?
1) Derive è un programma, 1000000 meno intelligente di un cervello umano ma 10000 più veloce nei calcoli,questa è la differenza, pertanto se non ti trova il limite e perché magari ci sono decisioni che non riesce a prendere (così funzionano i programmi, con delle decisioni ben definite)
2) Se guardi il grafico della funzione $y=\frac{\sin x}{x}$ puoi notare che la funzione sembra che compie oscillazioni sempre più deboli andando avanti nel grafico fino a sembrare che l'oscillazione sia nulla, ma è una cosa impossibile, questo è un paradosso (pensa ad esempio al paradosso di Zenone), infatti se ingrandissi la dimensione dove vedevi lo 0 vedresti altre oscillazioni e avanti ancora oscillazioni apparentemente nulle, ingrandendo ancora otterrai lo stesso risultato, ma potrai ingrandire sempre e vedrai sempre oscillazioni, ovvero non avrai mai 0 oscillazioni, questo è il concetto di limite infinitesimo.
Analogamente alla funzione considerata, disegnando il grafico e andando a $\pm \infty$ puoi pensare come se le oscillazioni terminassero ed avresti un'unica parabola nel semipiano positivo anche se è solo un limite.
Lo dice anche qui
Buon di a tutti
io ragionerei così:
$ x /sin x $ è definita in tutti i reali tranne quelli in cui sin x=0.
In ogni intorno di + infinito, la funzione assume valori positivi e valori negativi (il seno cambia di segno)
perciò la funzione non può divergere;
potrebbe convergere ?
ma se la funzione convergesse dovrebbe convergere a 0 (altrimenti non vale il teorema di permanenza del segno).
Ma è $ x<= abs(x/sinx) $ per valori positivi di x in cui il seno non si annulla;
il modulo $ abs(x/sinx) $ è minorato da una funzione divergente e dunque ( il modulo) diverge (teorema dei carabinieri)
Dunque il limite non può esistere in quanto $x/sinx$ non è divergente e non è infinitesima.
Cordiali saluti
io ragionerei così:
$ x /sin x $ è definita in tutti i reali tranne quelli in cui sin x=0.
In ogni intorno di + infinito, la funzione assume valori positivi e valori negativi (il seno cambia di segno)
perciò la funzione non può divergere;
potrebbe convergere ?
ma se la funzione convergesse dovrebbe convergere a 0 (altrimenti non vale il teorema di permanenza del segno).
Ma è $ x<= abs(x/sinx) $ per valori positivi di x in cui il seno non si annulla;
il modulo $ abs(x/sinx) $ è minorato da una funzione divergente e dunque ( il modulo) diverge (teorema dei carabinieri)
Dunque il limite non può esistere in quanto $x/sinx$ non è divergente e non è infinitesima.
Cordiali saluti
"Cuspide83":
Il dominio della funzione è \(x\neq2k\pi\), quindi non ha senso calcolare il limite per \(x\rightarrow\infty\)
Buona sera
io credo che la funzione sin(x) si annulla in $ x=k*pi $ $ AA k in Z $;
i soli che hanno diritto di essere eliminati da R.
I limiti di funzioni si calcolano è vero nei numeri reali di accumulazione per l' insieme di definizione della funzione
ma se si considerano gli intorni di + infinito tutti i numeri maggiori di un numero reale l (le semirette aperte e non limitate superiormente), + infinito è punto di accumulazione di un insieme se:
è non vuota la intersezione di un intorno di + infinito con l' insieme.
Dunque se una funzione reale ha insieme di definizione non limitato superiomente ha certamente + infinito per punto di accumulazione
e si può tentare la ricerca del limite...
Spero di essere stato utile...
Cordiali saluti
"CaMpIoN":
Il limite è infinito, perché la funzione $sin(x)$ è definita nell'intervallo [-1,1], pertanto avresti sopra infinito e sotto un intorno dell'intervallo, il che porta il risultato come infinito. Riguardo al fatto che hai detto sul reciproco della funzione puoi dire quindi che basta fare il reciproco di quel limite no? il reciproco di 0 è infondo $\infty$ no?
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sin x}=\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sin x}{x}}=\frac{1}{0}=\infty\)
Buona sera
se può essere di aiuto Le ricordo che in merito al limite del rapporto di funzioni,
il teorema pone nelle ipotesi che il denominatore ha limite diverso da zero.
Pertanto il teorema è non applicabile e la terza uguaglianza è priva di significato.
Cordiali saluti
La risposta corretta è quella di Maci86. basta prendere due sottosuccessioni della funzione e calcolarne il limite e vedere che esso è diverso per le due, il che basta per concludere che il limite non esiste.
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