Limite
Devo calcolare limite per x che tende a piu infinito di $ sqrt(x^3/(x+1)) -x $ mi viene 0 ma sembra deve venire 1/2, perchè ?
Risposte
perche devi razionalizzare forse
il tuo risultato è comunque sbagliato,
\begin{align}
\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{\frac{x^3}{x+1}}-x\right)\cdot\frac{\sqrt{\frac{x^3}{x+1}}+x}{\sqrt{\frac{x^3}{x+1}}+x}&=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^3}{x+1}-x^2\right)\cdot\frac{1}{\sqrt{\frac{x^3}{x+1}}+x}\sim\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{-x^2}{x+1} \right)\cdot\frac{1}{2x}\\
&\sim\lim_{x\to+\infty}\frac{-x^2}{2x^2} =-\frac{1}{2}
\end{align}
\begin{align}
\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{\frac{x^3}{x+1}}-x\right)\cdot\frac{\sqrt{\frac{x^3}{x+1}}+x}{\sqrt{\frac{x^3}{x+1}}+x}&=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^3}{x+1}-x^2\right)\cdot\frac{1}{\sqrt{\frac{x^3}{x+1}}+x}\sim\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{-x^2}{x+1} \right)\cdot\frac{1}{2x}\\
&\sim\lim_{x\to+\infty}\frac{-x^2}{2x^2} =-\frac{1}{2}
\end{align}
okay, io portavo x fuori dalla radice al numeratore , ottenendo $ xsqrt(x/(x+1))-x $, quindi per x che tende ad infinito mi veniva x-x, cioè 0, ma forse è ancora forma inditerminata?
attenta!!! 
cosi facendo ottieni una forma indeterminata $\infty-\infty$; se procedi per quella via allora avresti
\[x\left(\sqrt{1-\frac{1}{x+1}}-1\right)\sim x \cdot\frac{-1}{2(x+1)}=-1/2\]
tenendo conto del fatto che \[(1+x)^{\alpha}-1\sim \alpha x,\qquad x\to 0\]
cosi facendo ottieni una forma indeterminata $\infty-\infty$; se procedi per quella via allora avresti\[x\left(\sqrt{1-\frac{1}{x+1}}-1\right)\sim x \cdot\frac{-1}{2(x+1)}=-1/2\]
tenendo conto del fatto che \[(1+x)^{\alpha}-1\sim \alpha x,\qquad x\to 0\]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo