Limite

[Oo.Stud.ssa.oO]

Ho questo limite:

\(\displaystyle \lim(x\rightarrow+\infty) \)\(\displaystyle \frac{x^3 +2^{-x}+sin(x^2)}{e^{-x}-x^3} \)

Io so che in generale \(\displaystyle a^x \) tende a infinito più velocemente di \(\displaystyle x^b \) quindi devo considerare solamente \(\displaystyle 2^{-x} \) e \(\displaystyle e^{-x} \)?
Come va affrontato questo limite?

[Noisemaker]

Quello che si deve cercare di fare in questo limite, è stabilire qual è l'infinito dominante sia a numeratore sia a denominatore. Allora cominciamo con il numeratore e consideriamo il comportamento dei vari addendi quando $x\to+\infty:$

\begin{align*}
x^3 \to +\infty,\qquad 2^{-x}=\frac{1}{2^x}\to 0,\qquad
\sin x^2 \not \exists
\end{align*}

cerchiamo allora di stabilire qual è infinito dominante: essendo $2^{-x}$ infinitesimo, il ruolo se lo giocano $x^3 $ o $ \sin x^2 ,$ ed osservando che
\begin{align*}
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin(x^2)}{x^3 }=0,\qquad\mbox{limitata per infinitesima}
\end{align*}

possiamo concludere che l'infinito dominante a numeratore è $x^3.$ Facciamo lo stesso ragionamento per il denominatore:

\begin{align*}
x^3 \to +\infty,\qquad e^{-x}=\frac{1}{e^x}\to 0
\end{align*}

in questo caso si nota immediatamente che l'unico infinito è $x^3.$ Allora il limite dato risulta equivalente all'infinito a:

\begin{align*}
\lim_{x\to+\infty}\frac{x^3 +2^{-x}+\sin(x^2)}{e^{-x}-x^3}\sim\lim_{x\to+\infty}\frac{x^3 }{ -x^3}=-1
\end{align*}

[Oo.Stud.ssa.oO]

Perfetto, grazie sei stato chiarissimo