Limite
$ lim_(x -> +∞) (x-1) e^(pi/4-arctan((x-2)/(x+1)))-x = $
Io credevo di poter ragionare in questo modo :
$ arctan(1) = pi/4 $ ed $ e^0 = 1 $ quindi
$ x - 1 - x = -1 $
In realtà il limite deve venire -1/2, dove sbaglio ?
Trovo una difficoltà analoga nel limite seguente:
$ lim_(x -> +∞) log (2e^(2x) -3e^x +1)/x $
Io credevo di poter ragionare in questo modo :
$ arctan(1) = pi/4 $ ed $ e^0 = 1 $ quindi
$ x - 1 - x = -1 $
In realtà il limite deve venire -1/2, dove sbaglio ?
Trovo una difficoltà analoga nel limite seguente:
$ lim_(x -> +∞) log (2e^(2x) -3e^x +1)/x $
Risposte
ci provo (parlo del secondo).
innanzitutto il +1 nella parentesi è trascurabile, quindi:
$ lim_(x -> oo ) log(-3e^x+2e^(2x))/x = lim_(x -> oo ) log(e^x(-3+2e^(x)))/x = $
$ lim_(x -> oo ) (log(e^x)+ log(-3+2e^(x)))/x = 1+ log(-3+2e^(x))/x ~ $
$ ~ lim_(x -> oo ) [1+ log(2e^(x))/x]=lim_(x -> oo ) {1+ log[(2e^(x))^(1/x)]} $ $ =lim_(x -> oo ) {1+ log[2^(1/x)e]}=lim_(x -> oo ) {1+ log[e]}=1+1=2 $
spero sia giusto...
innanzitutto il +1 nella parentesi è trascurabile, quindi:
$ lim_(x -> oo ) log(-3e^x+2e^(2x))/x = lim_(x -> oo ) log(e^x(-3+2e^(x)))/x = $
$ lim_(x -> oo ) (log(e^x)+ log(-3+2e^(x)))/x = 1+ log(-3+2e^(x))/x ~ $
$ ~ lim_(x -> oo ) [1+ log(2e^(x))/x]=lim_(x -> oo ) {1+ log[(2e^(x))^(1/x)]} $ $ =lim_(x -> oo ) {1+ log[2^(1/x)e]}=lim_(x -> oo ) {1+ log[e]}=1+1=2 $
spero sia giusto...
e no con il primo hai cmq una forma indeterminata $+\infty-\infty;$ io farei cosi: pongo per semplicità di scrittura $F(x)=pi/4-arctan((x-2)/(x+1))$
\begin{align} \lim_{x \to +\infty} (x-1)e^{F(x)}-x&=\lim_{x \to +\infty} x e^{F(x)}-e^{F(x)}-x=\lim_{x \to +\infty} x\left( e^{F(x)}-1\right)-e^{F(x)}\quad\mbox{poichè}\quad F(x)\to0\\
&=\lim_{x \to +\infty} x F(x) -1- F(x) =\lim_{x \to +\infty} \frac{F(x)}{\frac{1}{x}} -\lim_{x \to +\infty}1-\lim_{x \to +\infty} F(x) \\
&=-1+\lim_{x \to +\infty} \frac{F(x)}{\frac{1}{x}} \stackrel{\bf(H)}{=}-1+\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2}{(x-1)^2+(x-2)^2} =-1+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}
\end{align}
per quanto riguarda il secondo:
\begin{align} \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln\left(2e^{2x}-3e^x+1\right)}{x}&\sim\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln\left(2e^{2x} -3e^x \right)}{x}=\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln\left(e^x(2e^{x} -3 )\right)}{x}=\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln e^x +\ln\left( 2e^{x} -3 \right)}{x}\\
&=\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln e^x }{x}+ \frac{ \ln\left( 2e^{x} -3 \right)}{x}\sim\lim_{x \to +\infty} 1+ \frac{ \ln\left( 2e^{x} \right)}{x}=\lim_{x \to +\infty} 1+ \frac{ \ln\ 2 }{x}+\frac{ \ln e^{x} }{x}\\
&=1+0+1=2
\end{align}
\begin{align} \lim_{x \to +\infty} (x-1)e^{F(x)}-x&=\lim_{x \to +\infty} x e^{F(x)}-e^{F(x)}-x=\lim_{x \to +\infty} x\left( e^{F(x)}-1\right)-e^{F(x)}\quad\mbox{poichè}\quad F(x)\to0\\
&=\lim_{x \to +\infty} x F(x) -1- F(x) =\lim_{x \to +\infty} \frac{F(x)}{\frac{1}{x}} -\lim_{x \to +\infty}1-\lim_{x \to +\infty} F(x) \\
&=-1+\lim_{x \to +\infty} \frac{F(x)}{\frac{1}{x}} \stackrel{\bf(H)}{=}-1+\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2}{(x-1)^2+(x-2)^2} =-1+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}
\end{align}
per quanto riguarda il secondo:
\begin{align} \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln\left(2e^{2x}-3e^x+1\right)}{x}&\sim\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln\left(2e^{2x} -3e^x \right)}{x}=\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln\left(e^x(2e^{x} -3 )\right)}{x}=\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln e^x +\ln\left( 2e^{x} -3 \right)}{x}\\
&=\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln e^x }{x}+ \frac{ \ln\left( 2e^{x} -3 \right)}{x}\sim\lim_{x \to +\infty} 1+ \frac{ \ln\left( 2e^{x} \right)}{x}=\lim_{x \to +\infty} 1+ \frac{ \ln\ 2 }{x}+\frac{ \ln e^{x} }{x}\\
&=1+0+1=2
\end{align}
Stavo per rispondere io, mi hai battuto nei tempi,quindi ho cancellato il post.
Ma ho notato un errore nei calcoli, (o forse non ho capito il passaggio).
Io in questo passaggio:
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}x(e^{F(x)}-1)-e^{F(x)}=\lim_{x\to\infty}xF(x)-1 \)
Non capisco il perchè del tuo "-F(x)" (che comunque poi tende a 0 e quindi non influisce).
Poi quando applichi l'Hopital c'è un errorino nella derivata (che cambia il valore del limite):
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{F(x)}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{-3}{2x^{2}-2x+5}}{\frac{-1}{x^{2}}}=\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{2}}{2x^{2}-2x+5}=\frac{3}{2} \)
Quindi il limite viene \(\displaystyle \frac{1}{2} \), o almeno a me risultava così
Ma ho notato un errore nei calcoli, (o forse non ho capito il passaggio).
Io in questo passaggio:
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}x(e^{F(x)}-1)-e^{F(x)}=\lim_{x\to\infty}xF(x)-1 \)
Non capisco il perchè del tuo "-F(x)" (che comunque poi tende a 0 e quindi non influisce).
Poi quando applichi l'Hopital c'è un errorino nella derivata (che cambia il valore del limite):
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{F(x)}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{-3}{2x^{2}-2x+5}}{\frac{-1}{x^{2}}}=\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{2}}{2x^{2}-2x+5}=\frac{3}{2} \)
Quindi il limite viene \(\displaystyle \frac{1}{2} \), o almeno a me risultava così
si grazie ...l'errore di calcolo c'è ... ho fatto i conti un pò di fretta .. 
ho corretto
per il passaggio ho semplicemente aggiunto e tolto $1:$
\begin{align} \lim_{x \to +\infty} x\left( e^{F(x)}-1\right)-e^{F(x)} &= \lim_{x \to +\infty} x\left( e^{F(x)}-1\right)+1-1-e^{F(x)} \\
&= \lim_{x \to +\infty} x\left( e^{F(x)}-1\right)-1+e^{F(x)}-1=\lim_{x \to +\infty} x F(x) -1- F(x) =....\end{align}
ho correttoper il passaggio ho semplicemente aggiunto e tolto $1:$
\begin{align} \lim_{x \to +\infty} x\left( e^{F(x)}-1\right)-e^{F(x)} &= \lim_{x \to +\infty} x\left( e^{F(x)}-1\right)+1-1-e^{F(x)} \\
&= \lim_{x \to +\infty} x\left( e^{F(x)}-1\right)-1+e^{F(x)}-1=\lim_{x \to +\infty} x F(x) -1- F(x) =....\end{align}
Grazie mille ad entrambi !
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