Limite
Ciao a tutti, ho il seguente limite di x tendente a 0 : (1-cos^3x )/(x sen 2x) ho provato a svolgerlo con the l'hopital,ma non mi viene di sicuro sbaglio le derivate mi aiutate??? Forse mi devo calcolare le derivate usando la formula per le frazioni?
Risposte
Ma no,dai:
dividi per $x^2$ numeratore e denominatore,per poi ricordare un paio di limiti notevoli ed il fatto che $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$..
Saluti dal web.
dividi per $x^2$ numeratore e denominatore,per poi ricordare un paio di limiti notevoli ed il fatto che $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$..
Saluti dal web.
Ciao antonio.89, togli dal titolo quell' "aiutooooo", quasi tutti quelli che postano sul forum lo fanno perchè hanno bisogno di qualche aiuto...
fatto
"antonio.89":
ho provato a svolgerlo con the l'hospital
Antonio non per fare il precisino, ma per evitarti spiacevoli situazioni in questi ambienti: la regola è quella di de l'Hôpital, non the l' hospital
Ops..grazie mille per la correzione,comunque,nessuno mi aiuta a risolverlo per favore???
...se proprio non riesci a risolverlo con il metodo proposto da theras, prova a passare attraverso McLaurin...
$1-cos^3(x)=3/2x^2+o(x^2)$
$sin(2x)=2x+o(x)$
Trascurando gli infinitesimi di ordine superiore, il limite allora diventa...
$1-cos^3(x)=3/2x^2+o(x^2)$
$sin(2x)=2x+o(x)$
Trascurando gli infinitesimi di ordine superiore, il limite allora diventa...
Ragazzi la devo svolgere con the hopital...ma ancora non ci sono riuscito,mi aiutate gentilmente facendomi vedere tutti i paggi?anche con un metodo alternativo,però basta che mi fate vedere i passaggi,se mi date solo la definizione non riusciro mai a capire......
"antonio.89":
Ragazzi la devo svolgere con the hopital...
Suppongo che quindi il testo stesso ti chieda - o ti obblighi, dipende dai punti di vista! - di risolverlo con l'Hopital.
Partiamo dal limite:
$lim_(x->0) \frac{1-cos^3(x)}{x sin(2x)}$
da quello che scrivi, suppongo sia questo (in futuro puoi iniziare ad utilizzare le formule e, da regolamento, dopo 30 messaggi l'utilizzo delle stesse si considera obbligatorio... non è così difficile come potrebbe sembrare all'inizio).
Ovviamente non posso darti la soluzione io: non si tratta solo del già citato regolamento, ma anche perché se ci arrivi tu (tramite i nostri suggerimenti) capisci quello che si fa mentre invece una soluzione messa lì ti risolve l'esercizio ma non è detto che afferri il ragionamento logico.
Bando alla filosofia. Devi applicare l'Hopital: deriva, dunque, numeratore e denominatore...
Per il numeratore $1-cos^3(x)$, resta solo la parte del coseno perché $1$ è una costante e ha derivata nulla: il modo più semplice è utilizzare la regola $D(f^n (x)) =nf^(n-1) (x) f'(x)$ per quanto riguarda la potenza di una funzione.
Per il denominatore hai un prodotto: $D(f(x)g(x))= f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$. L'unico "impiccio" è che occorre ricordarsi che l'argomento del seno è $2x$, quindi va trattato alla stregua di una funzione composta...
Infine fai il rapporto tra i due risultati e vedi che ti viene fuori. Prima, però, inizia con il calcolare le derivate e, se credi di avere qualche dubbio, posta mostrando i tuoi passaggi.
utilizzando la regola di derivazione mi è venuto fuori questo: $ (-cos^2x+senx)/(sen 2x +2x cos2x) $ é corretto???
No...
$lim_(x->0) (1-cos^3(x))/(x cdot sin(2x))=text(Hopital)=lim_(x->0)(3sin(x) cos^2(x))/(sin(2x)+2xcos(2x))=0/0...$
$lim_(x->0) (1-cos^3(x))/(x cdot sin(2x))=text(Hopital)=lim_(x->0)(3sin(x) cos^2(x))/(sin(2x)+2xcos(2x))=0/0...$
ok grazie mille...senti ma il meno del numeratore perchè non lo devo mettere??forse perche cos derivato è -sin?
"antonio.89":
ok grazie mille...senti ma il meno del numeratore perchè non lo devo mettere??forse perche cos derivato è -sin?
Certo, perché:
$d/(dx)(-cos^3(x))=d/(dx)(-1 cdot cos(x)cos(x)cos(x))=-d/(dx)(cos(x)cos(x)cos(x))=+3sin(x)cos^2(x)$
Concludendo: quanto viene questo limite?
Molto più elementarmente:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos^3 x}{x\ \sin 2x} &= \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x\ \sin 2x}\ (1+\cos x+\cos^2 x)\\
&= \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}\ \frac{x^{\cancel{2}}}{\cancel{x}\ \sin 2x}\ (1+\cos x+\cos^2 x)\\
&= \lim_{x\to 0} \frac{1}{2}\ \underbrace{\frac{1-\cos x}{x^2}}_{\color{maroon}{\to 1/2}}\ \underbrace{\frac{2x}{\sin 2x}}_{\color{maroon}{\to 1}}\ \underbrace{(1+\cos x+\cos^2 x)}_{\color{maroon}{\to 3}} \\
&= \frac{3}{4}
\end{split}
\]
in cui ho usato i limiti notevoli del coseno e del seno e la scomposizione della differenza di due cubi (i.e., \(a^3-b^3=(a-b)\ (a^2+ab+b^2)\)).
\[
\begin{split}
\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos^3 x}{x\ \sin 2x} &= \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x\ \sin 2x}\ (1+\cos x+\cos^2 x)\\
&= \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}\ \frac{x^{\cancel{2}}}{\cancel{x}\ \sin 2x}\ (1+\cos x+\cos^2 x)\\
&= \lim_{x\to 0} \frac{1}{2}\ \underbrace{\frac{1-\cos x}{x^2}}_{\color{maroon}{\to 1/2}}\ \underbrace{\frac{2x}{\sin 2x}}_{\color{maroon}{\to 1}}\ \underbrace{(1+\cos x+\cos^2 x)}_{\color{maroon}{\to 3}} \\
&= \frac{3}{4}
\end{split}
\]
in cui ho usato i limiti notevoli del coseno e del seno e la scomposizione della differenza di due cubi (i.e., \(a^3-b^3=(a-b)\ (a^2+ab+b^2)\)).
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