Limite $1^∞$

[asker993]

Ciao ragazzi, facendo esercizi oggi mi è venuto un dubbio:

$lim (x->0)$ $(cos(x))^(1/x^2)$
Allora io per risolverlo ho fatto in diversi modi ma alla fine il risultato è sempre lo stesso:

il limite posso riscriverlo come $lim (x->0)$ $e^((1/(x^2))*log(cosx))$ poi applico il limite notevole e ho che
$lim (x->0)$ $1-(1/(x^2))*log(cosx)$ da cui dico che $log(cosx)$ per $x->0$ è asintotico a $x$ da cui
mi riconduco a questa forma: $lim (x->0)$ $1-1/x$ e qua mi blocco...ho provato a ricondurmi alla forma $(1+1/n)^n)$ per $n->∞$
$=e$ ma non sono riuscito...voi come fareste? grazie

[Zero87]

Ho in mente un ragionamento cervelloso e probabilmente c'è qualche magagna sotto.

Ora, $cos(x)=\sqrt(1-sin^2(x))$ e fino a qui, diciamo, ok.

Per $x-> 0$, ho $sin(x)~x$ dunque, sempre per $x->0$ sostituisco nella radice ottenendo
$lim_(x->0) (1-x^2)^(1/(2x^2))$
in cui il $2$ davanti all'esponente è proprio la radice quadrata che ho... ammucchiato.

Poi posso porre $t=1/x$...

[asker993]

grazie zero...dunque arriveresti a dire che $lim (t->∞)$ $((1-1/t^2)^(-1/(t^2)))^(-1/2)$ ...e allora concluderesti dicendo che $1/sqrt(e)$ che è il risultato corretto...grazie mille

[Zero87]

"asker993":che è il risultato corretto...

Prego, poi il fatto che riporta mi fa pensare che il ragionamento è giusto: nel mio caso però non mi stupirei se ci fossero errori che si compensano. No dai, credo che sia giusto.

PS.
C'è un meno di troppo negli esponenti (anche se riporta, comunque, dovrebbe essere una svista).