Limite 0/0 radice indice 4

[lorenzooliboni1]

Ciao a tutti Sto provando a risolvendo questo limite. Inizialmente mi sembrava banale, ma probabilmente sbaglio qualcosa nei calcoli oppure ho qualche concetto sbagliato.

Scrivo tutti i passaggi. Il risultato finale dovrebbe essere $3/4$.

Ovviamente non vi chiedo la risuluzione, ma qualche input su dove sbaglio. Grazie

$lim_(x->0)(root(4)(1+3x)-root(4)(1-6x))/(3x)$

Forma indeterminata $0/0$

$= (root(4)(1+3x)-root(4)(1-6x))/(3x) *(root(4)((1+3x)^3)+root(4)((1-6x)^3))/(root(4)((1+3x)^3)+root(4)((1-6x)^3)) $

$= (1+3x-1+6x)/(3x *(root(4)((1+3x)^3)+root(4)((1-6x)^3))$

$= (9x)/(3x *(root(4)((1+3x)^3)+root(4)((1-6x)^3))$

$= (3)/(root(4)((1+3x)^3)+root(4)((1-6x)^3)$

$= (3)/(root(4)((1)^3)+root(4)((1)^3)$

$=3/2$

[pilloeffe]

Ciao lore326,

Benvenuto sul forum!

Hai sbagliato sezione, ma è comprensibile dato che è il tuo primo messaggio...

Per quanto concerne il limite proposto, a parte il fatto che è sbagliata la de-razionalizzazione, consiglierei di fare uso di un altro limite notevole:

$ \lim_{x \to 0}(root(4)(1+3x)-root(4)(1-6x))/(3x) = \lim_{x \to 0}(root(4)(1+3x) - 1 - (root(4)(1-6x) - 1))/(3x) = $
$ = \lim_{x \to 0}(root(4)(1+3x) - 1)/(3x) - \lim_{x \to 0}(root(4)(1-6x) - 1)/(3x) = \lim_{x \to 0}(root(4)(1+3x) - 1)/(3x) + 2 \lim_{x \to 0}(root(4)(1-6x) - 1)/(- 6x) = $
$ = 1/4 + 2/4 = 3/4 $

Se proprio vuoi usare la de-razionalizzazione devi tener presente che si ha:

$a^4 - b^4 = (a^2 + b^2)(a^2 - b^2) = (a^2 + b^2)(a + b)(a - b) \implies a - b = (a^4 - b^4)/((a^2 + b^2)(a + b)) $

con $a := root(4)(1+3x) $ e $ b := root(4)(1-6x) $