Limite 0/0
Buonasera,
ho problemi con questo limite, non so se i procedimenti che ho fatto sono esatti:
$lim_(x->2)((x^2-5x+6)^(1/2) (log(x+7)))/(cos(x-2)-1)=0/0$
la funzione non è defintita in $2^+$
mentre :
$lim_(x->2^-)((x^2-5x+6)^(1/2) (log(x+7)))/(cos(x-2)-1)$
$log(x+7)$ è una costante e lo porto fuori dal limite, $cos(x-2)-1=-((1-cos(x-2))/(x-2)^2 (x-2)^2)=-1/2(x-2)^2$ e riscrivento il tutto:
$-2log(9) lim_(x->2^-)((x^2-5x+6)^(1/2) )/(x-2)^2$
adesso provando a scomporre il numeratore arrivo a $-2log(9) lim_(x->2^-)(((x-2)(x-3))^(1/2) )/(x-2)^2$ potrei semplificare un $(x-2)^(1/2)$ con uno che sta al denominatore, $-2log(9) lim_(x->2^-)((x-3)^(1/2) )/(x-2)^(3/2)$ ma applicando il limite mi viene un numero negativo sotto la radice del numeratore, cosa posso fare?
ho problemi con questo limite, non so se i procedimenti che ho fatto sono esatti:
$lim_(x->2)((x^2-5x+6)^(1/2) (log(x+7)))/(cos(x-2)-1)=0/0$
la funzione non è defintita in $2^+$
mentre :
$lim_(x->2^-)((x^2-5x+6)^(1/2) (log(x+7)))/(cos(x-2)-1)$
$log(x+7)$ è una costante e lo porto fuori dal limite, $cos(x-2)-1=-((1-cos(x-2))/(x-2)^2 (x-2)^2)=-1/2(x-2)^2$ e riscrivento il tutto:
$-2log(9) lim_(x->2^-)((x^2-5x+6)^(1/2) )/(x-2)^2$
adesso provando a scomporre il numeratore arrivo a $-2log(9) lim_(x->2^-)(((x-2)(x-3))^(1/2) )/(x-2)^2$ potrei semplificare un $(x-2)^(1/2)$ con uno che sta al denominatore, $-2log(9) lim_(x->2^-)((x-3)^(1/2) )/(x-2)^(3/2)$ ma applicando il limite mi viene un numero negativo sotto la radice del numeratore, cosa posso fare?
Risposte
Potresti fare così utilizzando il limite notevole del coseno.
$ lim_(x -> 2^-) \frac{\sqrt{x^2-5x+6}}{cos(x-2)-1}\cdotlog(x+7)=lim_(x -> 2^-) \frac{\sqrt{(2-x)(3-x)}}{cos(x-2)-1}\cdotlog(x+7)= $
$= lim_(x -> 2^-) \frac{(2-x)^2}{cos(x-2)-1}\cdot\frac{log(x+7)}{(2-x)^{\frac{3}{2}}}=(-2)\cdot(+\infty)=-\infty $
Oppure potresti sostituire il coseno usando il suo sviluppo di MacLaurin.
In ogni caso non puoi portare fuori il logaritmo dal limite. Non è una costante. Dipende da $x$. Quello che volevi dire (penso) è che quando fai il calcolo del limite il logaritmo non da problemi in $2^{-}$ (perché è una funzione continua in quel punto). Infatti poi, magicamente, è spuntato un $log(9)$.
$ lim_(x -> 2^-) \frac{\sqrt{x^2-5x+6}}{cos(x-2)-1}\cdotlog(x+7)=lim_(x -> 2^-) \frac{\sqrt{(2-x)(3-x)}}{cos(x-2)-1}\cdotlog(x+7)= $
$= lim_(x -> 2^-) \frac{(2-x)^2}{cos(x-2)-1}\cdot\frac{log(x+7)}{(2-x)^{\frac{3}{2}}}=(-2)\cdot(+\infty)=-\infty $
Oppure potresti sostituire il coseno usando il suo sviluppo di MacLaurin.
In ogni caso non puoi portare fuori il logaritmo dal limite. Non è una costante. Dipende da $x$. Quello che volevi dire (penso) è che quando fai il calcolo del limite il logaritmo non da problemi in $2^{-}$ (perché è una funzione continua in quel punto). Infatti poi, magicamente, è spuntato un $log(9)$.
Si, volevo dire che non contribuisce allo zero del numeratore 
.
Grazie infinite!!!
posso approfittarne anche per questo?
$lim_(x -> 4) ((x^2-4x)^(1/2)(log(x-3)))/(cos(x^(1/2)-1)$
utilizzando i limiti notevoli arrivo a $lim_(x -> 4) -2((x^2-4x)^(1/2)(x-4))/((x^(1/2)-2)^2) $ riesco a spezzare $(x-4)=(x^(1/2)-2)(x^(1/2)+2)$ e semplicare $x^(1/2)-2$ con uno del denominatore ma poi mi blocco
.Grazie infinite!!!
posso approfittarne anche per questo?
$lim_(x -> 4) ((x^2-4x)^(1/2)(log(x-3)))/(cos(x^(1/2)-1)$
utilizzando i limiti notevoli arrivo a $lim_(x -> 4) -2((x^2-4x)^(1/2)(x-4))/((x^(1/2)-2)^2) $ riesco a spezzare $(x-4)=(x^(1/2)-2)(x^(1/2)+2)$ e semplicare $x^(1/2)-2$ con uno del denominatore ma poi mi blocco
Penso che volevi scrivere $lim_ (x->4^+)((x^2-4x)^(1/2)log (1+(x-4)))/(cos (x^(1/2)-2) -1)$ che da $0/0$, mi sbaglio?
Procedendo con i limiti notevoli arrivi al limite $lim_(x->4^+)-2sqrt (x (x-4))(x-4)/(sqrtx-2)^2$ $=lim_(x->4^+)-2 sqrt4sqrt (x-4)(x-4)(sqrtx+2)^2/((sqrtx-2)^2 (sqrtx+2)^2) $ $=lim_(x->4^+)-4sqrt (x-4)(x-4)(sqrtx+2)^2/(x-4)^2$ $=lim_(x->4^+)-4×(16)sqrt(x-4)/(x-4) $ $=lim_(x->4^+)-4×(16)/sqrt (x-4)=-infty $
Procedendo con i limiti notevoli arrivi al limite $lim_(x->4^+)-2sqrt (x (x-4))(x-4)/(sqrtx-2)^2$ $=lim_(x->4^+)-2 sqrt4sqrt (x-4)(x-4)(sqrtx+2)^2/((sqrtx-2)^2 (sqrtx+2)^2) $ $=lim_(x->4^+)-4sqrt (x-4)(x-4)(sqrtx+2)^2/(x-4)^2$ $=lim_(x->4^+)-4×(16)sqrt(x-4)/(x-4) $ $=lim_(x->4^+)-4×(16)/sqrt (x-4)=-infty $
Si si, perdonami ho saltato un pezzo, un ultima domanda, la funzione in $4^+$ è infinita di ordine $1/2$ giusto? Grazie mille per le risposte
"emilianoo":
Si si, perdonami ho saltato un pezzo, un ultima domanda, la funzione in $4^+$ è infinita di ordine $1/2$ giusto? Grazie mille per le risposte
Si ha ordine $\frac{1}{2}$.
Grazie mille
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