Limite 0 su 0 di una frazione razionale
Buonasera,
sto provando in continuazione a risolvere questo limite $lim_(x->3) (x^10 - 3^10)/(x^11 - 3^11)$, ma niente da fare. Proprio non so da che parte prenderlo.
Il risultato è $10/33$
Grazie mille per l'aiuto
sto provando in continuazione a risolvere questo limite $lim_(x->3) (x^10 - 3^10)/(x^11 - 3^11)$, ma niente da fare. Proprio non so da che parte prenderlo.
Il risultato è $10/33$
Grazie mille per l'aiuto
Risposte
De l'Hôpital 
Probabilmente hai ragione, anzi sicuramente. Però questo esercizio mi è stato dato ancora settimane prima di fare de l'Hopital, quindi credo si possa risolvere anche senza. Solo che non so come 
Uhm... potresti fare il cambio di variabile $x=y+3$; dato che $x\to 3$, avresti che $y\to 0$, e
\[
x^{10}-3^{10}=(y+3)^{10}-3^{10}=\sum_{k=0}^{10}\binom{10}{k}y^k3^{10-k}-3^{10}=\sum_{k=1}^{10}\binom{10}{k}y^k3^{10-k} \quad \textrm{che è asintotico a}\quad \binom{10}{1}y^1 3^{10-1}
\]
per $y\to 0$. Dunque il numeratore è asintotico a $10y3^9$. Analogamente il denominatore è asintotico a $11y3^10$, e facendone il rapporto ottieni $10/33$.
\[
x^{10}-3^{10}=(y+3)^{10}-3^{10}=\sum_{k=0}^{10}\binom{10}{k}y^k3^{10-k}-3^{10}=\sum_{k=1}^{10}\binom{10}{k}y^k3^{10-k} \quad \textrm{che è asintotico a}\quad \binom{10}{1}y^1 3^{10-1}
\]
per $y\to 0$. Dunque il numeratore è asintotico a $10y3^9$. Analogamente il denominatore è asintotico a $11y3^10$, e facendone il rapporto ottieni $10/33$.
Grazie mille ad entrambi, siete stati illuminanti 
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